OliForum Matematico

intanto concordo con psion metacreativo sull'idea di aprire una nuova sezione per dubbi vari circa scuola e università...

la mia domanda è:

come posso risolvere sommatoria per k da 1 a infinito di k(1\2)^k ?

chiedo anche scusa per non usare i simboli matematici ma non ho ancora imparato...

si calcola grazie ad un identità (che si dimostra banalmente per induzione):

$ \displaystyle \sum_1^n {n \over 2^n} = 2 - {n + 2 \over 2^n} $

passando al limite per $ n \rightarrow \infty $ trovi che fa 2.

chiara85 ha scritto:intanto concordo con psion metacreativo sull'idea di aprire una nuova sezione per dubbi vari circa scuola e università...

Allora discutete di questo nell'area appropriata (Il sito delle Olimpiadi).

Bello il metodo di Alex, però in questi casi viene sempre da chiedersi come si possa esplicitare una sommatoria senza tirare fuori la formula finale dal cilindro.
Ecco un metodo alternativo.

Notiamo che la serie ha termini positivi, perciò ha limite $ S $ (eventualmente $ S=+\infty $).
Sia $ \displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n {i \over 2^i} $ la successione delle somme parziali della serie.

Si vede facilmente che $ \displaystyle 2S_{n+1}=S_n+\sum_{i=0}^n {1 \over 2^i} $, e facendo tendere $ n $ all'infinito, questa diventa $ 2S=S+2 $, da cui $ S=2 $.

Io, più scolasticamente (per analisi 2 però), la risolverei così, innanzitutto ponendo x=1/2 e generalizzando:

$ $ \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^i = x \sum_{i=1}^{+\infty} i \cdot x^{i-1} = x D\left(\sum_{i=1}^{+\infty} x^i \right) = \\ x \cdot D\left(\frac{x}{1-x}\right) = x \cdot \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2} $ $

e valutandolo in $ x=\frac{1}{2} $, ottengo il risultato voluto.

Dipende da che programma avete fatto e che strumenti usa il prof. nelle esercitazioni. Ad esempio, io ho un calcolo simile negli appunti svolto per $ \sum \frac{1}{n2^n} = \sum \frac{x^n}{n} $.

dovrebbe essere circa equivalente al metodo made in mind, però...
$ \sum_{k=0}^{n} k\frac12^k = \sum_{k=0}^n \sum_{j=k+1}^n \frac12^k $, e da qui si giochicchia con le serie geometriche, e si porta tutto al limite...
m.