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Qual è l'equazione differenziale che rappresenta tutte le circonferenze del piano?


...siccome qui non si tratta di risolvere equazioni differenziali, (l'integrale generale è nell'ipotesi) questo problema può essere risolto anche senza una conoscenza approfondita delle suddette.


Buon lavoro!

Andrea

Le circonferenze nel piano possono essere rappresentate, scelte 3 costanti arbitrarie a, b e c, da $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $.
Differenziando tre volte isolando di volta in volta una delle tre costanti da un lato dell'equazione si dovrebbe ottenere (salvo errori di algebra):
$ \displaystyle{y^{'''}=\frac{3y^{'}{(y^{''})^2}}{(y^{'})^{2}+1}} $

La risoluzione risulta un po' più rapida se si considera che la circonferenza ha raggio di curvatura costante. Il raggio di curvatura di una funzione è dato (al variare di x) da $ \displaystyle r=\frac{(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}}{y''}} $ (formula che tutti dovrebbero saper ricavare o avere bene a mente ). Derivando una volta entrambi i membri e raccogliendo si ottiene lo stesso tuo risultato.

Ehm ... scusate, ma la domanda non ha senso.
Un'equazione differenziale ha come soluzione, se altro non è specificato una funzione da R in R. L'unico modo che mi venga in mente per cui una funzione possa rappresentare una curva è con il suo grafico, ma è facile dimostrare che non esiste una funzione il cui grafico sia una circonferenza.
L'unico modo sensato di rappresentare una curva nel piano è quello di dare una funzione f:R ---> R^2 che parametrizzi la curva, ovvero, se vuoi, descrivere la legge del moto di una particella che percorra la curva completamente.

EvaristeG ha scritto:Un'equazione differenziale ha come soluzione, se altro non è specificato una funzione da R in R

Ma $ \displaystyle{y^{'}=-\frac{x}{y}} $ ha come soluzione tutte le circonferenze con centro nell'origine.

cosa vuol dire, ha come soluzione tutte le circonferenze ??
una soluzione di un'equazione differenziale è una funzione y=f(x).
Qual è la f nel nostro caso?

EvaristeG ha ragione.
Il problema ora diventa quindi:
Come si può riscrivere la domanda iniziale in modo che abbia un senso?
(e che tra le soluzioni possibili ci sia anche quella data da Franchifis)

cose di questo tipo:
-qual è l'equazione differenziale tale che per ogni circonferenza del piano xy esistano una o più sue soluzioni y=f(x), eventualmente prolungate per continuità, tali che la loro unione coincida con la circonferenza stessa? (così il rigore matematico dovrebbe essere salvo)

L'unione dei loro \emph{grafici}. Inoltre quel "prolungate per continuita'" mi sembra a dir poco un po' dubbio...

prolungate per continuità perchè ci sono punti in cui la derivata prima non esiste (va a infinito), e quindi in quei punti non credo avrebbe senso un'equazione dfferenziale in cui compare la derivata prima, però in quei punti esiste il limite (vabbè, almeno quello "arrivando dal centro della circonferenza") delle funzioni soluzioni dell'equazione. (Non sto dicendo di "unire per continuità" le due semicirconferenze.)
(correggetemi se continuo a sbagliare! )