La mosca e i treni [da "Salve a tutti"]

[dimpim]

Ho spostato questo messaggio e i seguenti qui nella sezione di fisica da "Mi presento", per tenere un minimo di ordine.

EG

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Eheh, a proposito di potenzialità... so che sono totalmente OT, però mi pare una cosa divertente da raccontare.
Ho parlato da poco al telefono con il mio fratello maggiore (ingegnere in telecomunicazioni), e, mentre parlavamo, mi ha proposto su due piedi un classico problemino da risolvere praticamente all'istante (immagino che molti di voi lo conosceranno; io ne avevo sentito parlare, ma non avevo mai provato a risolverlo):

C'è un binario lungo 200 km, alle cui estremità si trovano due treni puntati l'uno verso l'altro. I due treni partono nello stesso istante con velocità pari a 100 km/h. Da una delle estremità parte, nello stesso istante dei treni, una pallina con velocità 300 km/h. Quando la pallina colpisce un treno, rimbalza e torna indietro (si suppone che gli urti siano perfettamente elastici, quindi le velocità non variano). Qual è la distanza percorsa dalla pallina prima di venire schiacciata tra i due treni?

Dopo la breve sensazione iniziale di smarrimento, ho fatto due rapidi conti e sono arrivato alla soluzione. Tempo totale: sì e no 15 secondi.
Mio fratello mi hai poi detto di averlo proposto ad un suo amico, brillante studente di Fisica a Padova, 110 e lode, tesi sulla relatività. Per carità, è arrivato alla soluzione anche lui, ma dopo aver riempito fogli e fogli di complicatissimi calcoli!

Tutto questo era giusto per evidenziare il fatto che maggiori conoscenze non significa automaticamente maggior probabilità di risolvere i problemi correttamente (anche se credo sia un principio noto a tutti i frequentatori di questo forum).

Scusate ancora per l'OT.

[Offidani]

Scusa, che calcoli ha fatto in così tanto tempo?

[dimpim]

Mi pare di aver letto che il problema si possa risolvere anche come una somma di serie infinite, o qualcosa del genere...

[hexen]

sto propblema è interessante, perche non lo spostiamo nella sezione di fisica?

[hexen]

Mi pare di aver letto che il problema si possa risolvere anche come una somma di serie infinite, o qualcosa del genere...

infatti a me viene $ $\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{150}{2^i} = 300 km $ $

[Mathomico]

c'è un metodo più veloce o semplice di questo?

il fatto che le velocità non varino permette di usare s= v t
dato che i treni si scontrano a metà strada (100 km) e che la loro velocità è 100 Km/h in tutto passa 1 ora....
quindi la pallina percorrerà in tutto s= 300Km/h * 1h = 300 Km

Ciao ciao,
mathomik

[fur3770]

sto propblema è interessante, perche non lo spostiamo nella sezione di fisica?

Interessante? Considerando che l'urto sia elastico, questo problema è banalissimo...

[Sisifo]

c'è un metodo più veloce o semplice di questo?

il fatto che le velocità non varino permette di usare s= v t
dato che i treni si scontrano a metà strada (100 km) e che la loro velocità è 100 Km/h in tutto passa 1 ora....
quindi la pallina percorrerà in tutto s= 300Km/h * 1h = 300 Km

Ciao ciao,
mathomik

Che io sappia questo è l'unico metodo risolubile con strumenti matematici non avanzati.

[aursic]

Interessante? Considerando che l'urto sia elastico, questo problema è banalissimo...

...a dire il vero, se l'urto fosse elastico e considerando la sua massa trascurabile rispetto a quella del treno, dopo il rimbalzo la pallina ripartirebbe con la stessa velocità (in modulo) relativa al treno e quindi la sua velocità aumenterebbe di 200km/h ad ogni urto...

[hexen]

intendevo dire dal punto di vista matematico, ad esempio la scrittura $ \frac{150}{2^n} $ l'ho trovata solo perché vedevo che il grafico della funzione oraria del moto della palla si incontrava con quello dei treni in ordinate (spazi) che dimezzavano nei primi 2-3 urti e quindi ho dedotto io che si dimezzano sempre ma non saprei dimostrarlo

[fur3770]

...a dire il vero, se l'urto fosse elastico e considerando la sua massa trascurabile rispetto a quella del treno, dopo il rimbalzo la pallina ripartirebbe con la stessa velocità (in modulo) relativa al treno e quindi la sua velocità aumenterebbe di 200km/h ad ogni urto...

...per grazia di Dio so leggere
Dimpim dice che l'urto sia elastico quindi non vedo perché fare supposizioni

[aursic]

...per grazia di Dio so leggere

...allora leggi anche il resto!

[fur3770]

Dimpim dice prima che bisogna trovare la distanza percorsa dalla pallina, poi dice di aver risposto in termini di tempo. Successivamente dice che l'urto sia perfettamente elastico ==> le velocità non variano (secondo dimpim).

Se uno dei due treni parte a 100 Km/h e la pallina viaggia a 300 km/h, capiamo subito che, considerando che il binario sia lungo 200 Km, il primo urto si ha a 50 Km dalla partenza del treno percorrente verso opposto a quello della pallina. Infatti tale treno in 30 minuti percorre 50 Km, mentre la pallina in 30 minuti ne percorre 150. Considerato che la velocità della pallina aumenta di x ad ogni urto, ogni volta bisogna fare lo stesso ragionamento, sapendo che l'altro treno al momento dell'urto ha percorso la stessa distanza dal punto di partenza del treno ''urtato'' (per ipotesi). Sommando i Km percorsi dalla pallina si ha banalmente il risultato.

[aursic]

1) sia w la velocità del treno: w=1
(ho diviso tutto per 100km per semplificare i conti, il problema rimane esattamente lo stesso)
2) sia $ v_i $ la velocità della palla dopo l'i-esimo urto:
$ v_i=3+2i $
3) sia $ d_i $ la distanza tra i 2 treni all'istante dell'urto i-esimo: $ d_0=2, d_1=1 $... (fra un po' arriva la formula ricorsiva)
4) sia $ p_i $ la distanza percorsa dalla palla tra l'i-esimo urto e il successivo $ p_0=\frac{3}{2} $
5) sia $ t_i $ il tempo (in ore) che intercorre tra l'i-esimo urto e il successivo $ t_0=\frac{1}{2} $

ora:
$ t_i=\frac{d_i}{v_i+w} $
$ d_{i+1}=d_i-2wt_i=(v_i-w)t_i $
combinandole:
$ d_{i+1}=\frac{v_i-w}{v_i+w}d_i $
continuando:
$ p_i=t_iv_i=\frac{d_iv_i}{v_i+w} $
$ d_i=p_i\frac{v_i+w}{v_i} $
da cui
$ p_{i+1}=\frac{(v_i-w)v_{i+1}}{(v_{i+1}+w)v_i}p_i $
cioè, usando la 2) e riordinandola un poco:
$ p_{i+1}=\frac{(1+i)(5+2i)}{(3+2i)(3+i)}p_i $
che, assieme a $ p_0=1.5 $ ci dà una successione $ \{p_i\} $ definita per ricorrenza.
similmente per il tempo:
$ t_{i+1}=\frac{v_i-w}{v_{i+1}+w}t_i=\frac{1+i}{3+i}t_i $ con
$ t_0=\frac{1}{2} $ dà un'altra successione per ricorrenza.
si può mostrare per induzione che $ t_i=\frac{1}{(i+1)(i+2)} $
Il tempo totale dopo n urti è dato da
$ T_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{(i+1)(i+2)}=\sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{i+1}-\frac{1}{i+2})=1-\frac{1}{n+2} $ (serie telescopica)
Risulta da qui evidente che dopo un tempo di 1 (cioè prima dello scontro tra i treni) la palla avrà fatto un numero infinito di urti.
ora studiamo la convergenza di $ \sum_{i=0}^{\infty}p_i $
possiamo mostrare per induzione anche che il termine $ p_i $ è maggiore del termine corrispondente della serie armonica (che diverge) $ \frac{1}{i+1} $
pertanto $ \sum_{i=0}^{\infty}p_i $ diverge (a $ +\infty $)

si può così banalmente dire che, nell'ipotesi di urti elastici "veri", e trascurando effetti relativistici nonchè la perdita di energia dei treni ad ogni urto,
la pallina avrà percorso una distanza infinita prima dello scontro tra i due treni.

Ciao!
Andrea

[fur3770]

(un problema da fare al telefono, insomma) ...
cmq intuitivamente sull' 'infinito' ho parecchi dubbi:

si ha dopo 1h l'ultimo urto, per cui si dovrebbe determinare il numero di urti in un'ora.