OliForum Matematico

Problema #1: provare che, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sigma_1(n!) \leq \frac{1}{2}(n+1)! $, e stabilire in quali casi sussiste l'uguaglianza.

Problema #2: dimostrare che, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sigma_1(n!) > n! \cdot \ln(1+n) $.

Immensa cazzata

Boll ha scritto:L'ugliaglianza si ha se si verificano contemporaneamente questi due fatti: 1) $ (n!,(n+1))=1 $; 2) $ n+1 $ primo, poichè la 1) sussiste se vale la 2) l'uguaglianza si ha se $ n=p-1 $ dove $ p $ è un primo naturale.

Leggerò con calma i tuoi argomenti! Per il momento mi limito a farti notare che le conclusioni circa i casi di uguaglianza, oltre ad essere incomplete, proprio non reggono, visto che: $ \displaystyle\sigma_1(3!) = \frac{4!}{2} = 12 $ e $ \displaystyle\sigma_1(5!) = \frac{6!}{2} = 360 $, nonostante che $ 3 $ e $ 5 $ non siano gli antecedenti di alcun numero primo; ii) $ \displaystyle 2418 = \sigma_1(6!) < \frac{7!}{2} = 2520 $. Lasciatelo dire: qualcosa non torna...

Boll ha scritto:Visto che il buon Euler si lamenta del fatto che i suoi problemi rimangano insolti (si dice??) e visto che è tanto che non piglio insulti dallo stesso...

No, ti sbagli, non mi lamento affatto: mi limito a descrivere la realtà dei fatti, tutto lì! E comunque si dice "insoluti", razza di capra ignorante...

Boll ha scritto:Lemmino: $ \sigma((n+1)!) \le \sigma(n+1)\sigma(n!) $ per ogni naturale.

E' banale poichè a destra abbiamo la sigma di $ (n+1)! $ se $ (n!,n+1)=1 $, ed è chiaro che se i due numeri non sono coprimi la cardinalità dell'insieme dei divisori diminuisce.

Che giuggiola c'entra la cardinalità dell'insieme dei divisori, scusa? Il lemma è corretto, in ogni caso: solo che a questo punto ti chiedo di provarmi la seguente bonus question!!!

Problema #3: per ogni $ x, y \in\mathbb{N}_0 $: $ \sigma_1(xy) \leq \sigma_1(x)\sigma_1(y) $, ove sussiste l'uguaglianza sse $ \gcd(x,y) = 1 $.

EDIT: pare che il server abbia ripreso a funzionare come dovrebbe...

+++++ errore...ma cosa mi fumo?

Per il secondo sono un pò bloccato. Per ora:

* uff... questa dis ricorsiva la lascio perdere per ora;

* numero divisori >= n*loglog(n)-->da cui applicando la AM-GM si ha una tesi simile ma molto più debole di quella di HitLeuler;

* s(n!)>= n! * P [pi<=n] (1+1/pi) dove la produttoria è estesa a tutti i primi minori di n ma non sò stimare il valore della produttoria;-- del resto ho preso in considerazione un numero di fattori irrisorio;

Uno di questi risultati è utile o sono fuori strada? Altrimenti devo inventarmi qualche metodo per far uscire il logaritmo...ummm...

info ha scritto:ehm... mi pare che ci sia qualcosa che non và. Non penso valga:s(n+1)<=n+2, anzi vale proprio la dis contraria! Infatti sia n+1 che 1 sono divisori di (n+1)... sbaglio?

No, non sbagli! Ma non è mai stato affermato il contrario... fatta eccezione per Boll, intendiamoci! In ogni caso, se prima non si ristabilisce la piena funzionalità del server, non ho alcuna intenzione di mettermi a leggere e/o commentare le soluzioni (corrette o presunte tali) tue o dell'altro. Scarabocchiare formulette in LaTeX mi è irrinunciabile, ormai! Auguriamoci soltanto che gli addetti ai lavori trovino al più presto il modo di risolvere il problema...

Allora, ho letto la (impeccabile) soluzione di Boll e tento di proporne una per il caso in cui siano coprimi (per chi, come il sottoscritto, non è un espertone sille funzioni), confidando nell'immensa misericordia di Euler:

Possiamo vedere sigma_1(xy) come sigma_1(x)+sigma_1(y)+sigma_1(xy)-sigma_1(x)-sigma_1(y) perchè, se i due interi sono coprimi, la sigma del loro prodotto equivale alla somma dei divisori dei due interi iniziali a cui va aggiunta ogni combinazione fra i divisori di x e di y; ma poi da ciò si devono sottrarre sigma_1(x) e sigma_1(y) poichè sono state contate due volte, essendo presente anche l'1 nella funzione sigma_1

OT: a proposito del sito, è la seconda volta che l'accesso è negato (cito: Critical Error you could not connect to the database) Parbleu, che sta succedendo?

Questo è il ris del tentativo post simpson, forse è meglio che vada a studiare, eh! Il polinomio

P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)…(x+n)

Per Viète è tale che P(1) somma le somme di tutti i possibili sottoinsiemi di [1,,,n]. Inoltre P(1)=(n+1)!. Tutte queste somme contengono al loro interno tutti i divisori di n! ma in eccedenza. Possiamo dire che ogni divisore è considerato almeno due volte: ammettiamo che a1*a2*a3… sia un generico divisore con ai diverso da 1. La serie calcola sia a1*a2*a3… che 1*a2*a3*a4… come numeri diversi. Quindi a parte l’1 ogni numero viene calcolato due volte da cui

S(n)<[(n+1)! – 1]/2 +1 =(n+1)!/2+1/2. dato che s(n) è positivo si ha s(n)<=(n+1)!/2. e spero di non dover cancellare anche questa sol!

info ha scritto:+++++ errore...ma cosa mi fumo?

Aaah, non chiederlo a me... Gli esperti sono "loro"!!! Sì, beh... Hai capito, no? Essù, sono calabrese...

info ha scritto: * numero divisori >= n*loglog(n)-->da cui applicando la AM-GM si ha una tesi simile ma molto più debole di quella di HitLeuler

* s(n!)>= n! * P [pi<=n] (1+1/pi) dove la produttoria è estesa a tutti i primi minori di n ma non sò stimare il valore della produttoria [...]

Magari ci si arriva anche così, ma... Boh, la mia idea è decisamente più banale, se vuoi!

HumanTorch ha scritto:Allora, ho letto la (impeccabile) soluzione di Boll e tento di proporne una per il caso in cui siano coprimi [...], confidando nell'immensa misericordia di Euler [...]

Impeccabili?!? Ma se ne ha cancellato ogni traccia, tant'era la vergogna ispirata dalle castronerie di cui aveva noi altri deliziato, com'egli solo spesso sape e suole? Credimi: confidi vanamente, HumanTorch...

HumanTorch ha scritto:Possiamo vedere sigma_1(xy) come sigma_1(x)+sigma_1(y)+sigma_1(xy)-sigma_1(x)-sigma_1(y) perchè, se i due interi sono coprimi, la sigma del loro prodotto equivale alla somma dei divisori dei due interi iniziali a cui va aggiunta ogni combinazione fra i divisori di x e di y; ma poi da ciò si devono sottrarre sigma_1(x) e sigma_1(y) poichè sono state contate due volte, essendo presente anche l'1 nella funzione sigma_1

E con questo cosa avresti voluto dimostrare, scusa?!? Ah, sì... Lasciami indovinare, forse ci sono!!! Per ogni $ a, b \in\mathbb{R} $: $ a = a + b - b $, il primo principio di equivalenza!!! Eh, peccato soltanto che il problema fosse un altro...

Caro HiT, non tutti sfortunatamente sono esperti su ogni branca della matematica, io per primo: il mio confesso inane tentativo di replica non s'atteggia a mera aggiunta agli argomenti (validissimi) di Boll, ma tenta solo di chiarire (sempre a me stesso per primo) il termine "moltiplicatività" (normale o assoluta che sia) di una funzione

HumanTorch ha scritto:Caro HiT, non tutti sfortunatamente sono esperti su ogni branca della matematica, io per primo [...]

Eh, a chi lo dici!? Lo sperimento di continuo sulla mia pelle, sai? Ma è un ottimo sprone!!!

HumanTorch ha scritto:[...] il mio confesso inane tentativo di replica [...] tenta solo di chiarire (sempre a me stesso per primo) il termine "moltiplicatività" di una funzione

Beh, per questo forse posso darti una mano! O meglio... un link!!! Lì, esattamente, sssì...

info ha scritto:Il polinomio P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)…(x+n), per Viète, è tale che P(1) somma le somme di tutti i possibili sottoinsiemi di [1,,,n].

Vediamo se ho compreso... Per ogni intero $ n > 1 $: $ \displaystyle (n+1)! = P(1) = 2\cdot \prod_{t=2}^n (1 + t) = 2 + 2\cdot \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{(u_1, ..., u_k)} u_1 u_2\ldots u_k $, ove la sommatoria interna s'intende estesa a tutte e sole le $ k $-uple di tipo $ (u_1, \ldots, u_k) $, con $ u_1 < u_2 < \ldots < u_k $, estratte dall'insieme $ \{2, 3,\ldots, n\} $, per ogni $ k=1, 2, \ldots, n-1 $. E' questo, vero? Bene, in tal caso vado avanti!!!

info ha scritto:Tutte queste somme contengono al loro interno tutti i divisori di n! ma in eccedenza.

No, mi dispiace, qui non ci siamo! Ma sant'Iddio, perché avete tutti questa tendenza a dare per scontati fatti che scontati decisamente non si posson dire, uh? Che puntualmente, infatti... Prendiamo il caso $ n = 6 $. Chiaramente $ 9 \mid 6! $, e tuttavia non esiste alcun sottoinsieme $ \Omega\subseteq\{1, 2, \ldots, 6\} $ tale che il prodotto dei suoi elementi, quando pure si ammetta $ \Omega \neq \emptyset $, sia uguale a $ 9 $. Ora, in nome del Cielo... L'idea mi pare buona, info, seppure sia totalmente diversa dalla mia, ma così com'è posta assolutamente non va! Incidentalmente, nota poi che, qualunque esso sia, il tuo argomento dimostrativo dovrebbe consentirti di stabilire l'esistenza di un opportuno $ v\in\mathbb{N} $ tale che, per ogni intero $ n > v $, la disuguaglianza indicata nella traccia del problema #1 risulti strettamente soddisfatta, di modo tale che (viceversa) l'uguaglianza sia verificata solo in un numero (auspicabilmente "piccolo") di casi da prendersi singolarmente in esame... Tienine conto, sarà un buon parametro per mettere alla prova la bontà di un eventuale tuo proof...