OliForum Matematico

P e' un punto del circocerchio del triangolo ABC (distinto dai vertici)
e siano: X l'intersezione di BP con AC,Y quella di CP con AB e Q
l'intersezione (distinta da A) del circocerchio di ABC con il circocerchio
di AXY.
Dimostrare che PQ taglia XY nel suo punto medio M.

se qualcuno percaso conosce la soluzione non si vergogni a scriverla
ci ho perso 1 bel po di tempo ma nn ho idea di come risolvere questo problema

Io avrei una domanda da porre a karl...
Il punto P deve essere nell'arco minore AC o si tratta semplicemente di un vizio del disegno e bisogna trattare entrambi i casi?

Non credo che la soluzione dipenda dalla posizione di P .E nemmeno so
se occorra distinguere due casi, per il semplice fatto che ..non ho la soluzione!
E' da qualche giorno che mi arrovello inutilmente ( le sto tentando tutte:
Ceva,Menelao,qualche possibile similitudine etc,etc).
Come ti capisco Alessandro...,speriamo che qualche geniaccio ci aiuti.

Recupero questo post,perchè è veramente un bel problema

Allora:

prima parte
$ \angle QYM = \angle QYX = \angle QAX $ (stessa circonf)$ = \angle QAC = \angle QPC $(stessa circonf)$ = \angle MPY $(opposti al vertice)

$ \angle PMY = \angle YMQ \Rightarrow \angle PYM = \angle YQM \Rightarrow YM^2 = MP * MQ $


seconda parte
$ \angle MXP = \angle CPX - \angle PYM $ (il primo esterno al supplementare della somma degli altri due) $ = \angle CAB - \angle PYM $(stessa circonferenza) $ = (180° - \angle YAX) - \angle PYM = \angle YQX - \angle PYM $ (opposto alla corda $ XY $) $ = \angle YQX - \angle YQM $ (per quanto detto prima) $ = \angle MQX $

$ \angle PMX = \angle XMQ \Rightarrow \angle MPX = \angle MXQ \Rightarrow MX^2 = MP*MQ $ ,da cui la tesi.