OliForum Matematico

Vabbe', tanto che ai miei problemi nessuno pare interessarsi (forse sono troppo difficili???), vuoi che li metta nella sezione del problem solving, vuoi che li classifichi fra le questioni di Matematica non elementare, ho deciso questa volta di andare (sostanzialmente) sul banale...

Problema #1: mostrare ch'esiste una funzione $ f(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N}_0 $ tale che, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ f(f(n)) = n^2 $. (Singapore 1996)

MMh, scusa, ma se io mi metto lì a compilare una tabella del tipo:
n-f(n)-f(f(n))

1-1-1
2-3-4
3-4-9
4-9-16
5-6-25
6-25-36
7-8-49
ecc

dove in pratica metto sempre come $ f(f(n)) $ $ n^2 $, e come $ f(n) $ "quello che era precedentemente" se $ n $ era già comparso come $ f(n) $, il primo numero non ancora utilizzato negli altri casi.
Mi pare di toccare tutto $ \mathbb{N}_0 $ e che la mia sia una funzione a tutti gli effetti, ma magari (probably) mi sbaglio

Da $ f^2(n) $ in poi si hanno tutte le potenze con esponente sotto forma di $ 2^k $, con $ k \in \mathbb{N} $ alternativamente di $ n $ e di $ f(n) $.
Questa condizione è necessaria o no?

Euler, sarebbero gradite tue risposte...