OliForum Matematico

Ciao. Potete darmi una mano con questo rompicapo che ho trovato su internet?

A nine-digit number is formed using each of the digits 1,2,3,...,9 exactly once. For n = 1,2,3,...,9, n divides the first n digits of the number. Find the number.

e l'ho interpretato così:

Un numero di 9 cifre è scritto usando una e una sola volta le cifre da 1 a 9. Per ogni n da 1 a 9, n divide il numero formato dalle prime n cifre del numero. Trovate il numero.

Mi pare che sia l'unica traduzione sensata per "divides the first n digits" (altrimenti, se usiamo la traduzione letterale che n divida le prime n cifre - ad una ad una intendo - banalmente un tale numero non può esistere).

Così com'è formulato, sembrerebbe che un cotal numero esista, ma a me pare proprio di no (modulo granchi). Chi mi può aiutare?

Grazie e ciao.

M.

Se ho ben capito, l'ultima cifra dovrebbe essere 0, ma 0 non è compreso.
Allora forse intende le prime cifre da destra: a questo punto, tralasciando il teorema cinese del resto, sorvolando sulle soluzione pragmatiche (il numero 987654321 rispetta la tesi tranne che per n=7, quindi lavorando un pò sulle congruenze...) abbiamo: la quinta cifra è 5, ognuna delle triplette di numeri è divisibile per tre: nella seconda devono esserci agli estremi due cifre pari=1 mod 3 quindi 2 e 8 o 4 e 6.
Otto casi da provare...è una strada lunga, quindi meglio le soluzioni pragmatiche

Ah, ok. Leggendo il tuo messaggio ho trovato il granchio. Grazie.

Allora, confermo l'interpretazione del primo post. E vi dico che cotal siffatto numero esiste. Chi è?

prese le osservazioni di HumanTorch abbiamo che il numero è:
-8-654-2- oppure -4-258-6- (le cifre al 4o e ottavo posto devono essere ==2 mod 4).
per il primo osserviamo che ci devono essere nel primo blocco di 3 numeri il 7 e una cifra divisibile per 3. Per la divisibilità per 8 la 7a cifra deve essere per forza 3 e quindi controllando la divisibilità per 7 si deve avere 9876543 o 7896543 divisibile per 7 ma ciò nn accade.
Per il 2o caso abbiamo che nell'ultimo gruppo di cifre devono esserci per forza anche il 3 e il 9. Per la divisibilià per 8 abbiamo che la 7a cifra deve essere 9 e quindi dobbiamo controllare la divisibilità per 7 di 1472589 e 7412589 ma nessuno di questi due lo è.

Quindi non esiste nessun numero siffatto.

Il secondo caso è ok. Il primo invece è sbagliato. Dimostrami questa:

Simo_the_wolf ha scritto: per il primo osserviamo che ci devono essere nel primo blocco di 3 numeri il 7 e una cifra divisibile per 3.

Credo che simo sia rimasto vittima della divisibilità per 7, dato che pure a me ha fatto tirare diverse *******
Rimanendo comunque valido tutto quello precedentemente scritto, il numero dovrebbe essere:
381654729

Il tutto ovviamente se il pranzo, il divano e fantozzi non hanno fatto troppi danni