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Determinare tutte le funzioni di variabile reale tali che

$ f(xy^2) = (f(x+y))^2 + f(x^2) + yf(y^2) $

con x,y reali.

Poniamo $ x=y=0 $, ottenendo:

$ f(0)=f(0)^2+f(0) $, da cui $ f(0)=0 $.

Poniamo ora $ x=0 $, ottenendo:

$ f(0)=f(y)^2+f(0)+yf(y^2) $,da cui:

(A)$ f(y)^2+yf(y^2)=0 $

Poniamo $ y=0 $:

$ f(0)=f(x)^2+f(x^2) $,da cui:

(B)$ f(x)^2+f(x^2)=0 $

Ponendo $ y=x $ nella (A), otteniamo:

(C)$ f(x)^2+xf(x^2)=0 $

Confrontando la (B) e la (C), troviamo che deve essere:

$ f(x^2)=xf(x^2) $, la cui unica soluzione è $ f(x)=0 $.

Sostituendo nell'equazione di partenza si verifica che la funzione è effettivamente valida.

Igor ha scritto: $ f(x^2)=xf(x^2) $, la cui unica soluzione è $ f(x)=0 $.

Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...

$ f(xy^2)=(f(x+y))^2+f(x^2)+yf(y^2) $ (1)

$ x,y\rightarrow 0 $ nella 1
$ f(0)=f(0)^2+f(0) $
$ f(0)=0 $

$ y\rightarrow 1 $ nella 1
$ f(x)=(f(x+1))^2+f(x^2)+f(1) $ (2)

$ x\rightarrow 1 $ nella 1
$ f(y^2)+(f(y+1))^2+f(1)+yf(y^2) $ (3)

$ x\rightarrow y $ nella 3
$ f(x^2)+(f(x+1))^2+f(1)+xf(x^2) $ (4)

(2)-(4)
$ f(x)-f(x^2)=f(x^2)-xf(x^2) $
$ f(x)=(2-x)f(x^2) $ (5)

$ y\rightarrow 0 $ nella 1
$ f(x)^2+f(x^2)=f(0) $
$ f(x)^2+f(x^2)=0 $ (6)

Confrontando (5) e (6) avremo
$ f(x)^2+\dfrac{f(x)}{2-x}=0 $
$ f(x)\left[f(x)+\dfrac{1}{2-x}\right] $=0
quindi
$ f(x)=0 $ or $ f(x)=-\dfrac{1}{2-x} $ poi si fanno i conti e si vede se entrambe funzionano effettivamente

Boll ha scritto: Confrontando (5) e (6) avremo
$ f(x)^2+\dfrac{f(x)}{2-x}=0 $
$ f(x)\left[f(x)+\dfrac{1}{2-x}\right] $=0
quindi
$ f(x)=0 $ or $ f(x)=-\dfrac{1}{2-x} $ poi si fanno i conti e si vede se entrambe funzionano effettivamente

hmm... e se fosse f(x)=0 per un po' di valori nel dominio e f(x)=1/(2-x) per degli altri? Come escludi questo caso?

Attenzione, le funzionali sono tricky

fph ha scritto:
Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...

Non dimostri invece che $ f(x^2)=0 $ ?

Il che, combinato con il Lemma 5 di Boll fornirebbe una soluzione molto più bella di quella che avevo trovato all'inizio

Azarus ha scritto:

fph ha scritto: Sicuro? Innanzitutto da questo ricavi che f(x)=0 solo per x \ge 0...

Non dimostri invece che $ f(x^2)=0 $ ?

hmm... forse stiamo dicendo la stessa cosa senza capirci:
$ f(x)=0 \quad\forall x \in \mathbb \R,\,x\ge 0 $ e
$ f(x^2)=0 \quad \forall x \in \mathbb R $
sono la stessa cosa (basta porre x_della_prima_equazione=x_della_seconda^2 e viceversa).
Cmq riguardando la soluzione di Igor mi sono accorto che da questo si conclude subito usando la (B)... quindi la sol mi sembra funzionante (e anche bella ).

ciao,

Mi era sfuggito il \ge

Comunque è vero, funziona ed è pure più bella