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Dati $ a,b,c,d \in \mathbb{R}^+ $ tali che $ abcd=1 $ dimostrare che:
$ \displaystyle \frac 1{a(b+1)} + \frac 1{b(c+1)} + \frac 1{c(d+1)} + \frac 1{d(a+1)} \geq 2 $

Questa disuguaglianza è proprio bastarda .Vediamo se qualcuno(io non ne sono capace) la risolve senza utilizzare la disuguaglianza di Shapiro!

Intanto posto qualcosa, poi vi pongo una domanda..

L'uguaglianza si ha se $ a=b=c=d=1 $(per ora)
Riscriviamo la disuguaglianza come $ \displaystyle \frac {bcd}{b+1} + \frac {acd}{c+1} + \frac {abd}{d+1} + \frac {bcd}{a+1} \geq 2 $.
Per simmetria ciclica poniamo $ a<1 $ e almeno un altro parametro
$ >1 $.
Poniamo $ abcd $ al posto di $ 1 $ e semplifichiamop il
semplificabile e chiamiamo ogni tripletta con la lettera mancante (es. $ abc=D $).ABCD=1, quindi anche tali valori rispettano l'ipotesi
Si sottragga $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)} $ ovvero ognuno degli addendi del primo membro moltiplicato per il secondo fattore (nella prima $ b $, nella seconda $ c $..) A questo punto il primo membro diventa $ -\sum_{k=1}^4 \frac{1}{x_k} $ quindi $ \sum_{cycl}^4 \frac{x_{n+1}}{x_n(x_{n+1}+1)}>2 $. Questa però è una dis più debole...


Ora, possiamo supporre che $ a=b^{-1} $ senza perdere generalità? altrimenti tutto il resto del proof fa a farsi friggere..

Cosa ti ha fatto supporre che possiamo porre quella cosa?

Infatti, c'ho strutturato una misera dimostrazione ma ho perso generalità. Comunque ora sto optando per altre vie, thanks anyway

@Cu_jo: Shapiro? Ideuzza..perchè dopo i topic su angoli e serie non si stila un bel bestiario sulle principali disuguagliuanze (per ora si sono citate, se non erro, Jansen, Ramanujam, Cauchy-Schwartz e forse Young)

Andate anche a Matematica non elementare!

Questa è la soluzione con Shapiro.Vediamo se qualcuno ne trova altre.
Tutto il problema sta nella magica sostituzione:
$ \displaymatch a = \frac{z}{x}\,\,\,b = \frac{y}{z}\,\,\,c = \frac{w}{y}\,\,\,d = \frac{x}{w} $
che è assolutamente valida dato che $ abcd=1 $.Dopo la sostituzione si arriva alla disuguaglianza di Shapiro per 4 variabili.
A questo punto basta applicare Cauchy-Schwartz:
$ \displaymatch \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + w}} + \frac{z}{{y + w}} + } \frac{w}{{z + x}} - 2 \ge $$ \displaymatch \frac{{\left( {x + y + z + w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} - 2 = $$ \frac{{\left( {x - y} \right)^2 + \left( {z - w} \right)^2 }}{{x\left( {y + z} \right) + y\left( {x + w} \right) + z\left( {y + w} \right) + w\left( {z + x} \right)}} \ge 0 $

Cos'è shapiro???

Su google trovi molte informazione cercando "Shapiro's inequality"

Beh, dato che ti sei preso la briga di ricordarla, perché non ne metti l'enunciato in "Glossario e teoria di base?"