Algebra e/o Analisi ?
Inviato: 23 giu 2005, 15:14
Cari amici dell'algebra,
oggi vorrei proporvi un esercizio che forse molti di voi conosceranno già (SNS 1999-problema 6):
"Dati due interi pari m ed n con m<n,dimostrare che se esiste un reale k tale che
k>((m^2+n^2)/2) allora il polinomio
p(x)=(x^2+k)(x-m)(x-n)+1 ha due radici reali e due radici non reali".
Orbene..la questione è presto detta:non trovando alcuna soluzione elementare del quesito ho pensato di usare un po' d'analisi e mi è venuta una dimostrazione che sembra funzionare,ove però non si sfrutta l'ipotesi su k.
Quello che vi chiedo è:
1-sapete trovare soluzioni elementari al problema?
2-vi pare che la mia soluzione sia effettivamente corretta?
3-se avete risposto sì alla prec. confermate che l'ipotesi su k-così com'è- è "eccessiva"?
Ecco la mia soluzione (n.b. so che è matematica non elementare,ma il fine del topic mi fa ritenere che stia bene in questa sezione del forum):
-la funzione f(x)=p(x) definita su R è continua e derivabile su R,con derivata pure continua.Inoltre dallo studio del suo segno si vede subito che p(X)>1 per x>n e x<m quindi le radici reali di p(x),se esistono, sono nell'intervallo (m,n) allo studio del quale ci riduciamo.
-si vede subito che p(m)=p(n)=1,P((m+n)/2)<0 perciò p(x) ammette per il teorema di Bolzano in (m,n) almeno due radici reali (infatti questo è applicabile sia a (m,((m+n)/2)) sia a (((m+n)/2),n)).Basta ora far vedere che sono esattamente due.
-Per provare la tesi ci basta a questo punto mostrare che p'(x) si annulla in (m,n) in uno ed un sol punto(sia xo):infatti da ciò verrebbe la monotonia di p(x) su (m,xo) e su (xo,n) quindi l'iniettività di p(x) su ciascuno di essi ; p(x) potrebbe avere al più uno zero per ciascuno di essi,quindi al più due in totale su (m,n),quindi su R.
Il fatto che p'(x) si annulli in almeno un punto interno a (m,n) viene dal teorema di Rolle applicato a [m,n];per l'unicità si osservi che p'(x) ,di grado al più tre (nel caso esattamente tre) può avere al più tre zeri reali :
di tali zeri uno è sicuramente esterno a (m,n) sempre per Bolzano dato che p'(m)<0 mentre p'(0)>0 (lo applichiamo a [0,m] ,allora in (m,n) ve ne sono al più due , ma due non è possibile perchè ad ogni zero di p'(x) corrisponde ovviamente un suo cambio di segno ma è p'(m)<0 mentre p'(n)>0 per cui vi è un numero dispari di cambi di segno,ovvero-per i punti precedenti-ve n'è soltanto uno.
-Segue allora che p(x) ha Esattamente due radici reali e da ciò (dato che p(x) ha quattro radici in C) segue pure che due esattamente saranno non reali,il che chiude la dimostrazione.
Fatemi sapere,sono molto curioso!!
Grazie in anticipo!
N.B. nel calcolo di P((m+n)/2) è già più che sufficiente che k sia positivo...
oggi vorrei proporvi un esercizio che forse molti di voi conosceranno già (SNS 1999-problema 6):
"Dati due interi pari m ed n con m<n,dimostrare che se esiste un reale k tale che
k>((m^2+n^2)/2) allora il polinomio
p(x)=(x^2+k)(x-m)(x-n)+1 ha due radici reali e due radici non reali".
Orbene..la questione è presto detta:non trovando alcuna soluzione elementare del quesito ho pensato di usare un po' d'analisi e mi è venuta una dimostrazione che sembra funzionare,ove però non si sfrutta l'ipotesi su k.
Quello che vi chiedo è:
1-sapete trovare soluzioni elementari al problema?
2-vi pare che la mia soluzione sia effettivamente corretta?
3-se avete risposto sì alla prec. confermate che l'ipotesi su k-così com'è- è "eccessiva"?
Ecco la mia soluzione (n.b. so che è matematica non elementare,ma il fine del topic mi fa ritenere che stia bene in questa sezione del forum):
-la funzione f(x)=p(x) definita su R è continua e derivabile su R,con derivata pure continua.Inoltre dallo studio del suo segno si vede subito che p(X)>1 per x>n e x<m quindi le radici reali di p(x),se esistono, sono nell'intervallo (m,n) allo studio del quale ci riduciamo.
-si vede subito che p(m)=p(n)=1,P((m+n)/2)<0 perciò p(x) ammette per il teorema di Bolzano in (m,n) almeno due radici reali (infatti questo è applicabile sia a (m,((m+n)/2)) sia a (((m+n)/2),n)).Basta ora far vedere che sono esattamente due.
-Per provare la tesi ci basta a questo punto mostrare che p'(x) si annulla in (m,n) in uno ed un sol punto(sia xo):infatti da ciò verrebbe la monotonia di p(x) su (m,xo) e su (xo,n) quindi l'iniettività di p(x) su ciascuno di essi ; p(x) potrebbe avere al più uno zero per ciascuno di essi,quindi al più due in totale su (m,n),quindi su R.
Il fatto che p'(x) si annulli in almeno un punto interno a (m,n) viene dal teorema di Rolle applicato a [m,n];per l'unicità si osservi che p'(x) ,di grado al più tre (nel caso esattamente tre) può avere al più tre zeri reali :
di tali zeri uno è sicuramente esterno a (m,n) sempre per Bolzano dato che p'(m)<0 mentre p'(0)>0 (lo applichiamo a [0,m] ,allora in (m,n) ve ne sono al più due , ma due non è possibile perchè ad ogni zero di p'(x) corrisponde ovviamente un suo cambio di segno ma è p'(m)<0 mentre p'(n)>0 per cui vi è un numero dispari di cambi di segno,ovvero-per i punti precedenti-ve n'è soltanto uno.
-Segue allora che p(x) ha Esattamente due radici reali e da ciò (dato che p(x) ha quattro radici in C) segue pure che due esattamente saranno non reali,il che chiude la dimostrazione.
Fatemi sapere,sono molto curioso!!
Grazie in anticipo!
N.B. nel calcolo di P((m+n)/2) è già più che sufficiente che k sia positivo...
Vediamo un po'... Prendiamo il caso del polinomio $ P(x) := -(x^2 + 1)(x - 1)^2 $. Questo è una funzione continua di $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $, possiede (guarda un po' tu i casi della vita!) due zeri reali e due zeri complessi. Ciò nondimeno, il suo amico polinomio $ Q(x) := P(x) - 1 $ non si annulla mai, in campo reale! Boh, sarà che forse fraintendo... 
