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Non so dove metterlo, fate vobis...

Leggendo i quesiti della seconda prova per il liceo scientifico PNI mi è capitato sottomano questo, ovviamente il 99% dei maturandi l'avranno risolto attraverso il calcolo integrale, vi invito ad una soluzione senza integrali (anche se EvaristeG obietterà che li si utilizza comunque...)

Problema 1- Quesito 4 (Maturità 2005 PNI)
Sia dato un piano cartesiano $ Oxy $ e due curve di equazione:
$ \lambda: x^2=4(x-y) $
$ r: 4y=x+6 $
Si determini il valore di $ c $ per il quale la retta del fascio $ y=c $ divide a metà l’area della regione $ S $ del I quadrante compresa tra $ \lambda $ e l’asse $ x $

E' sufficiente usare un paio di volte il teorema di Archimede
(anche se in questo modo "camuffato" si applica comunque il calcolo integrale).
Ecco il procedimento.
Dette O ed A le intersezioni della curva con l'asse x e V il vertice , si ha:
OA=4 , V(2,1) e quindi :
Area_tra_assex_e_curva=2/3.OA.Yv=8/3
Le intersezioni della parabola con y=c sono:
M(2[1-sqrt(1-c)],c) ed N (2[1+sqrt(1-c)],c) e dunque :
Area_tra_(y=c)_e_curva=2/3.MN.(1-c)=8/3.(1-c)^(3/2).
Si ha quindi l'equazione:
8/3.(1-c)^(3/2)=4/3
da cui si ricava c.
[la retta r non c'entra].

Esattamente la mia idea...
Ho copiato la retta $ r $ anche se non c'entrava...

Ehm...scusate l'ignoranza, ma cosa dice di preciso il teorema di Archimede?..