OliForum Matematico

uff, mi secca postare la cosa qui, visto che secondo me è tanto carina...
però c'è un simbolo che mi costringe a considerarla "non elementare".
dunque, ecco il problema...

siano $ p $ intero e $ q $ intero non negativo tali che $ p^2-2p < q-1 < p^2+2p $.
consideriamo la successione geometrica $ g_n = (p+\sqrt{q})^n $.
determinare, al variare di $ p $ e $ q $ tutti i possibili limiti di $ \{g_n\} $*.

good luck!

*con $ \{x\} $ si indica la parte frazionaria di $ x $, cioè $ x-[x] $, in cui $ [x] $ è il massimo intero minore od uguale a $ x $.

ps. ai vari mods.. se vi va di editare il testo di modo da trovare una formulazione non comprendente la parola "limite" sarei ben contento di vedere questo thread in "algebra"!

Allova... $ p^2-2p+1<q<p^2+2p+1 $ sarebbe $ p-1<\sqrt{q}<p+1 $ cioè $ |p-\sqrt{q}|< 1 $. Definiamo similmente una successione geometrica $ f_n=(p-\sqrt{n})^n $
Ora consideriamo il numero $ g_n+f_n=(p+\sqrt{q})^n+(p-\sqrt{q})^n $. Ovviamente questo numero è intero in quanto i termini della forma $ a \sqrt{q} $ con $ a $ intero hanno segni opposti nei due addendi. Bisogna ora considerare due casi:

1) $ p>\sqrt{q} $. Allora, essendo $ g_n+f_n>g_n>[g_n] $, per ogni $ n $ risulterà (essendo $ p-\sqrt{n}<1 $) $ [ g_n ]=g_n+f_n-1 $ e quindi $ \{g_n\}=1-f_n $. Ma, essendo $ |p-\sqrt{q}|< 1 $ allora $ f_n $ tenderà a $ 0 $ e quindi $ \{g_n\} $ tenderà a 1.

2) $ p<\sqrt{q} $. In questo caso, analogamente, per $ n $ pari risulterà $ \{g_n\}=1-f_n $ ma per n dispari invece sarà $ \{g_n\}=-f_n $ (in quanto $ f_n $ risulterà negativo). Quindi per n pari $ \{g_n\} $ converge a 1 mentre per n dispari convergerà a 0.