Ho citato quei 2 perchè mi pare abbiano apprezzato l'esercizio di Catraga (spero che i mods non abbiano da ridire sul titolo!). Ecco quà altri esercizi, un pò diversi, ma cmq... (sono es di difficoltà variabile in ogni caso):
prima un classico:
1) in quanti settori al max si può dividere una circonferenza (o un piano) con n rette?
generalizzando:
2) in quante regioni al max si può dividere una torta (o lo spazio) con n piani ?
tornando 2D:
3) in quanti settori al max si può dividere il piano con n circonferenze?
ed infine generalizzando ancora:
4) in quante regioni al max si può dividere lo spazio con n sfere?
Buona fortuna!... se i risultati in funzione di n vi possono aiutare (per controllo o per pura contemplazione), ce li ho sicuri (nel libro dove li ho trovati ci sono i ris senza dimostrazione, ma perlomeno quelli ci sono!)... fatemi sapere se volete che li scriva (talvolta aiuta!)...tanto il punto centrale è motivare quella formula...
divisioni! (per Loth, moebius ed altri...)
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enomis_costa88
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[Cancellato il messaggio doppio. M.]
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Intanto posto queste due(sperando siano corretti)..ho provato a spiegarmi il più diffusamente possibile ma temo d'essere stato poco chiaro..
1) Il max si ha quando non ci sono parallele e le rette incidono solo a due a due.
Una retta n-esima incide con n-1 rette (se si vuole creare il max di settori ovviamente..). essa creerà: un nuovo settore (dividendo in due quello gia esistente) prima del primo pto di intersezione con altre rette, un altro dal primo al secondo e così via (non penso ci sia bisogno di indurre..mi pare abbastanza intuitivo) fino all’ultimo punto e un settore oltre l’ultimo punto di intersezione. Totale n nuovi settori.
$ F(n)= f(n-1)+n $ e con $ f(0)=1; f(n) = (\sum n)+1 = \frac { n(n+1) }{2} +1 $
2) il max di regioni se tt i piani sono incidenti, le rette di incidenza sono distinte, considerando le rette di incidenza su di un piano esse creano il numero massimo di settori(vedi esercizio precedente).
Ogni piano n-esimo ha n-1 rette di intersezione con gli altri(se li interseca tutti e le rette sono distinte ovviamente..da cui le condizioni di partenza). Le rette di intersezione creano
$ max \frac { n(n-1) }{2} +1 $ settori a cui corrisponde una regione dello spazio diversa ( infatti due settori dello stesso piano non possono delimitare la stessa regione dello spazio se questa regione è convessa..e lo è assolutamente perché eventuali concavità verrebbero tagliate dai piani di dimensione infinita)(in realtà le regioni che corrispondono ad uno stesso settore sono 2 una sopra e una sotto il piano). Inoltre un piano taglia in due tutte le regioni che interseca. Perciò avendo $ \frac { n(n-1) }{2} +1 $ regioni subito sopra e $ \frac { n(n-1) }{2} +1 $ subito sotto vuol dire che tante ne ha intersecate e ne ha create tante di nuove.
$ F(n) = (\sum \frac { n(n-1) }{2} +1) + 1 = \frac { 2n^3+10n+12 }{12} $
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Intanto posto queste due(sperando siano corretti)..ho provato a spiegarmi il più diffusamente possibile ma temo d'essere stato poco chiaro..
1) Il max si ha quando non ci sono parallele e le rette incidono solo a due a due.
Una retta n-esima incide con n-1 rette (se si vuole creare il max di settori ovviamente..). essa creerà: un nuovo settore (dividendo in due quello gia esistente) prima del primo pto di intersezione con altre rette, un altro dal primo al secondo e così via (non penso ci sia bisogno di indurre..mi pare abbastanza intuitivo) fino all’ultimo punto e un settore oltre l’ultimo punto di intersezione. Totale n nuovi settori.
$ F(n)= f(n-1)+n $ e con $ f(0)=1; f(n) = (\sum n)+1 = \frac { n(n+1) }{2} +1 $
2) il max di regioni se tt i piani sono incidenti, le rette di incidenza sono distinte, considerando le rette di incidenza su di un piano esse creano il numero massimo di settori(vedi esercizio precedente).
Ogni piano n-esimo ha n-1 rette di intersezione con gli altri(se li interseca tutti e le rette sono distinte ovviamente..da cui le condizioni di partenza). Le rette di intersezione creano
$ max \frac { n(n-1) }{2} +1 $ settori a cui corrisponde una regione dello spazio diversa ( infatti due settori dello stesso piano non possono delimitare la stessa regione dello spazio se questa regione è convessa..e lo è assolutamente perché eventuali concavità verrebbero tagliate dai piani di dimensione infinita)(in realtà le regioni che corrispondono ad uno stesso settore sono 2 una sopra e una sotto il piano). Inoltre un piano taglia in due tutte le regioni che interseca. Perciò avendo $ \frac { n(n-1) }{2} +1 $ regioni subito sopra e $ \frac { n(n-1) }{2} +1 $ subito sotto vuol dire che tante ne ha intersecate e ne ha create tante di nuove.
$ F(n) = (\sum \frac { n(n-1) }{2} +1) + 1 = \frac { 2n^3+10n+12 }{12} $
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enomis_costa88
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3) il max si ottiene se le circonferenze incidono in 2 punti con tutte le altre e incidono solo due a due.
Dopo ogni intersezione si taglia a metà un settore del piano: si crea un settore nuovo tra la prima e la seconda intersezione, e così via analogamente all’esercizio 1. dopo 2n-2(che è il massimo potendo intersecare in due punti n-1 altre cfr..) intersezioni (e 2n-3 settori creati visto che si creano dopo l’intersezione..) la cfr si chiude creando un altro settore. Totale settori creati: 2n-2
$ F(n)=f(n-1)+2(n-1) $;$ f(1)=2 $; $ f(n)= (\sum (n-1)2)+2 = n(n+1)-2n+2=n^2-n+2 $
per il 4 penso che aspetterò un po' a cimentarmi..ora devo studiare fisica (c'è gente che si fida a sentire quel poco che so.. e paga anche..unico problema la ragazza a cui dovrei dare ripetizioni ha visto più argomenti di me
)
Dopo ogni intersezione si taglia a metà un settore del piano: si crea un settore nuovo tra la prima e la seconda intersezione, e così via analogamente all’esercizio 1. dopo 2n-2(che è il massimo potendo intersecare in due punti n-1 altre cfr..) intersezioni (e 2n-3 settori creati visto che si creano dopo l’intersezione..) la cfr si chiude creando un altro settore. Totale settori creati: 2n-2
$ F(n)=f(n-1)+2(n-1) $;$ f(1)=2 $; $ f(n)= (\sum (n-1)2)+2 = n(n+1)-2n+2=n^2-n+2 $
per il 4 penso che aspetterò un po' a cimentarmi..ora devo studiare fisica (c'è gente che si fida a sentire quel poco che so.. e paga anche..unico problema la ragazza a cui dovrei dare ripetizioni ha visto più argomenti di me
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enomis_costa88
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Finito di dormire(emm studiare... 
)provo con questo..sperando che info posti le soluzioni per sapere quanto ho sbagliato..
È piuttosto analogo ai precedenti..
Due sfere hanno in comune massimo una circonferenza ; a ogni sezione in cui è divisa una sfera (analogamente all’esercizio precedente..)corrispondono due regioni del piano: una interna e una esterna alla sfera che sarebbero altrimenti unite. Quindi la sfera le ha tagliate a metà creandone tante nuove quante sono le sezioni in cui essa è divisa. Le sezioni sono create dalle circonferenze di incidenza con le altre sfere e sono max una con ciascuna altra. Un’n-esima sfera ha n-1 circonferenze di incidenza che se rispecchiano le condizioni dell’esercizio precedente formano: $ (n-1)^2-(n-1)+2=n^2-3n+4 $ sezioni nuove e quindi regioni nuove.
$ f(1)=2;f(n)=n^2-3n+4+f(n-1) = (\sum_{i=2}^{n} i^2-3i+4)+2 $
e svolgendo le sommatorie: $ f(n)= \frac{2n^3-6n^2+16n}{6} $.
)provo con questo..sperando che info posti le soluzioni per sapere quanto ho sbagliato..È piuttosto analogo ai precedenti..
Due sfere hanno in comune massimo una circonferenza ; a ogni sezione in cui è divisa una sfera (analogamente all’esercizio precedente..)corrispondono due regioni del piano: una interna e una esterna alla sfera che sarebbero altrimenti unite. Quindi la sfera le ha tagliate a metà creandone tante nuove quante sono le sezioni in cui essa è divisa. Le sezioni sono create dalle circonferenze di incidenza con le altre sfere e sono max una con ciascuna altra. Un’n-esima sfera ha n-1 circonferenze di incidenza che se rispecchiano le condizioni dell’esercizio precedente formano: $ (n-1)^2-(n-1)+2=n^2-3n+4 $ sezioni nuove e quindi regioni nuove.
$ f(1)=2;f(n)=n^2-3n+4+f(n-1) = (\sum_{i=2}^{n} i^2-3i+4)+2 $
e svolgendo le sommatorie: $ f(n)= \frac{2n^3-6n^2+16n}{6} $.
