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Un punto P e' scelto all'interno del parallelogramma ABCD in modo che
risulti:
(<APB)+(<CPD)=180°
Dimostrare che si ha:
AB*AD=BP*DP+AP*CP

Modificato un poco il latex per leggibilità

EG
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Uuuh... un piccolo problema indifeso. Vediamo di risolverlo!

Sia E il punto della parte opposta di A rispetto a CDtale che $ \angle ECD = \angle PBA $ e $ \angle EDC = \angle PAB $. Allora i triangoli EDC e PAB sono isometrici (II criterio di congruenza) e $ \angle DEC + \angle DPC= \angle APB + \angle DPC = \pi $ per cui CDEP è ciclico e possiamo applicare il teorema di Tolomeo:
$ CD\cdot PE = CE\cdot PD + CP\cdot DE $
Ora, sia S l'intersezione di PE con CD e R l'intersezione del prolungamento di PE con AB, allora
$ SE = RP \rightarrow SE + SP = RP + SP \rightarrow PE = RS = AD $
$ CE = BP $
$ DE = AP $
$ CD = AB $
Poichè i triangoli CDE e ABP sono isometrici.
Sostituendo
$ AB\cdot AD = BP\cdot PD + CP\cdot AP $
Che è la tesi.

Ma semplicemente traslo CDP con CD su BA e ottengolo un quadrilatero ciclico per ipotesi e per tolomeo la tesi...

Ehm... non so se hai letto la sua dimostrazione, ma fa esattamente la stessa cosa, solo con un po' più di cura

no infatti non la avevo letta avevo visto solo qualcosa di lungo...