Della serie "Amo Diofanto": 2^x + 3^y + 4^z = t^2
Inviato: 01 lug 2005, 13:02
Problema #1: determinare tutte le soluzioni in interi non negativi dell'equazione $ 2^x + 3^y + 4^z = t^2 $.
Ammetto di averci perso svariate ORE tra ieri ed oggi, senza cavare un ragno dal buco… non so proprio come andare avanti...
Supposto x>1, sono giunto a dividere il problema il due, con un po’ di scomposizioni e moduli… La prima parte (ma solo la prima!) arriva all’equazione con una somma di cubi (utile?):
(4^f * 2)^3 + 1 = 9*s [s* 4^(z-1) - 3^(m-1)]
tra l’altro questa ha sol banali come f=0 m=2 z=2 s=1 che trasferite nel problema iniziale diventano x=7 y=4 z=2 t=15, dando la sol non banale
2^7 + 3^4 + 4^2 = (15) ^ 2
il che ci avvisa che se vogliamo applicare stratagemmi per indicare che non esistono sol non banali, non lo si può fare, perlomeno nell’equazione iniziale…..
mi pare un problema moooolto difficile che non riuscirò a risolvere (anche perchè credo di avere finito i tentativi)... ma cos'è, un IMO?
boh... magari come con la sigma, mi sfugge il punto di partenza... quella volta era l'algebrizzazione della funzione aritmetica, ora cosa????
E comunque potreste tutti cominciare col farvi fuori il caso $ xyz = 0 $, non vi pare? Da qualche parte si dovrà pur iniziare, sant'Iddio... 