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Per $ n=2,3... $ sia $ f_{n} : (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} $ cosi' definita: $ \displaystyle f_{n}(x)=\frac{\tanh(x^n)}{x^n}\int_1^{nx} \frac{dt}{(1+t^{9/5})\arctan(t)} $.
Mostrare che la successione e' contenuta e convergente in $ L^1((0,+\infty)) $ e dimostrare che $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{+\infty}f_n>\log2 $.
Il tutto è relativo alla misura di Lebesgue su $ \mathbb{R} $.

Con un paio di minorazioni dapprima sull'arcontangente, poi sulla potenza di t al denominatore, giungo ad una funzione primitivabile elementarmente. Eliminando cosi' il primo integrale. Adesso faccio il limite dell'integrale et voila'.
Unico problema, vedo inessenziale il richiamo alla misura di Lebesgue, giacche' ho tutte cose Riemann-integrabili.
Immagino che per "contenuta" intenda che e' una successione di L1....

Per quanto riguarda il "contenuta" si intende che tutte le funzioni della successione sono $ L^1((0,+\infty)) $, cioe', come hai giustamente osservato, data la continuita' delle funzioni, che sono tutte assolutamente Riemann integrabili tra $ 0 $ e $ +\infty $. Il problema chiede poi di mostrare che la successione e' convergente in $ L^1((0,+\infty)) $, ed e' questa la parte piu' complessa. Convergente in $ L^1((0,+\infty)) $ significa che esiste $ f \in L^1((0,+\infty)) $ tale che $ \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_0^{+\infty}|f_n-f|\rightarrow 0 $, cioe' si ha convergenza a un qualche elemento di $ L^1((0,+\infty)) $, convergenza nello spazio normato $ L^1((0,+\infty)) $. Il riferimento alla misura di Lebesgue su $ \mathbb{R} $ e' indispensabile per la seconda parte a causa delle notevoli proprieta' di $ L^1 $ (come per esempio la completezza) che non sussistono se si considera l'integrale di Riemann.

Hai perfettamente ragione, ma non avevo letto che era necessario dimostrare la convergenza in L1...