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In quanti modi 5 uomini e 5 donne possono disporsi intorno a un tavolo rotondo in modo che uomini e donne si trovino in posti alternati? Due disposizioni debbono considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco le stesse persone.

Provo a distrarmi un po’ dal problemone..
Creo due n-uple(a_i.. e b_i): una dei maschi e uno delle femmine. Le permutazioni dei maschi sono 5! E lo stesso per le femmine. Inoltre per ogni permutazione maschile ci sono 5! Delle femmine.se non fossimo intorno ad un tavolo direi 5!5!. però siamo intorno ad un tavolo per cui per ogni permutazione ce ne sono altre 9(o19???devo pensarci su un po'..) uguali (basta spostare il valore di i..)
Per cui mi verrebbe da rispondere (ma conta l'ordine con cui sono messi accanto??) $ \frac{5!5!}{10} $ oppure$ \frac{5!5!}{20} $ (per ogni permutazione ci sono altre 9 equivalenti spostando il numero di i ma ce ne sono altre 10 invertendo completamente l'ordine..) ma adesso ho il cervello veramente fuso per l’altro problema e quindi non prendere in considerazione la risposta..

Il primo posto può essere scelto in 10 modi diversi.
Il secondo si può scegliere in 5 modi diversi, in quanto chi vi siede deve essere di sesso differente dal primo.
Il terzo posto può essere scelto in 4 modi ...

Alla fine le possibili disposizioni sono

10*5*4*4*3*3*2*2*1*1=28800

@igor: ma nella tua soluzione dov'è che è messo il tavolo?
ovvero mi sembrerebbe che anche su un foglio di carta si possa scrivere la prima posizione in 10 modi diversi, la seconda in 5 ecc o sbaglio?
il mio dubbio è se si stiamo parlando di permutazioni cicliche e per quel poco che so conta l'ordine di chi hai in parte (se a_1 ha a destra b_1 e a sinistra b_2 in tutte le permutazioni equivalenti sarà sempre cosi..)oppure non conta (e se a_1 ha a destra b_1 e a sinistra b_2 è considerabile equivalente avere a sinistra b_1 e a destra b_2).
Perchè nel testo c'è scritto che sono disposti in un tavolo e ciò mi farebbe pensare che siamo in una permutazione ciclica ma poi è detto diversamente..sarò io duro a capire

Forse il fatto che ci sia scritto

Due disposizioni debbono considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco le stesse persone.

dovrebbe dare validità al risultato trovato da Igor... altrimenti sarebbe bastato moltiplicare 28800*10 e avremmo trovato il risultato delle permutazioni cicliche (spero!!) ma credo che comunque il ragionamento da seguire sia quello di Igor cioè prendere la prima persona, sederla a questo tavolo e vedere quanti le si possono sedere accanto e così via

i'm very sorry man..non riesco proprio a capire una cosa: ragionando come igor le due permutazioni a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4,a_5,b_5 e a_5,b_5,a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4 sono diverse perchè iniziano con due ragazzi diversi..invece se le disponi su un tavolo... richiedo chiarimenti..
grazie per l'attenzione.

Hai perfettamente ragione, enomis.In effetti, considerando solo quattro persone,due ragazzi e due ragazze, la disposizione è unica.Col mio metodo invece ne risulterebbero 4.Il risultato corretto è il tuo, cioè $ \frac{5!*5!}{10} $.
Più in generale, dati n ragazzi ed n ragazze, le disposizioni sono:

$ \frac{n!*n!}{2n} $

allora chiedo aiuto... come si ricava la formula

$ \frac{n!*n!}{2n} $

??? Quale ragionamento si segue?

Per ricavarla non dovrebbe essere un problema..basta riscrivere(correggendo le imprecisioni) quello che avevo scritto nel mio primo (e confuso..) messaggio sostituendo a 5 n..risultato:
Creo due n-uple(a_i.. e b_i): una dei maschi e uno delle femmine. Le permutazioni dei maschi sono n! E lo stesso per le femmine. Inoltre per ogni permutazione maschile ci sono n! delle femmine e si può iniziare in due modi diversi(con a_i o con b_i). Siamo intorno ad un tavolo per cui per ogni permutazione ce ne sono altre 4n-1 uguali (basta spostare il valore di i..e se ne ottengono 2n equivalenti..invertire completamente l'ordine e se ne ottegnono altri 2n)
ergo il risultato è(spero):
$ 2 \frac{n!n!}{4n}= \frac{n!n!}{2n} $
EDIT:rivista la dimostrazione e spero d'avere risolto il mio dubbio.
PS ovviamente potrei benissimo avere sbagliato..non assicuro nulla.
è in queste cose che si sente la mancanza di un "boss"(escludendo gli onni\presenti\potenti M.\M.F.) qui in combinatoria..intendo qualcuno come Hit in TdN o Evaristo in Geometry..