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Sia $ F $ l'insieme di funzioni tali che:

$ g\in F\Leftrightarrow g:\ \mathbb{N}\longmapsto\mathbb{R}\ \ e\ \ g(n+2)g(n)=1+g(n+1) $

Calcolare $ \displaystyle\underbrace{f\circ \ldots \circ f}_{2005\ volte}(\underbrace{2005\ldots2005}_{2005\ volte}) $ ove $ f\in F\ \ e\ \ f(2005)=1\ \ e\ \ f\circ f(20052005)=2 $.

P.S. Se v'interessa $ 2005=5\cdot401 $. Riarrangiamento personale di un vecchio problema, credo irlandese, enjoy yourself.

Dimostriamo innanzitutto che $ f(n) $ è periodica di periodo 5.

Dalla relazione

$ f(n+2)f(n)=1+f(n+1) $ ricaviamo

$ \displaystyle f(n+2)=\frac{f(n+1)+1}{f(n)}\displaystyle $

Poniamo

$ f(0)=a $

$ f(1)=b $

Avremo che:

$ \displaystyle f(2)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $

$ \displaystyle f(3)=\frac{a+b+1}{ab}\displaystyle $

$ \displaystyle f(4)=\frac{a+1}{b}\displaystyle $

$ f(5)=a $

$ f(6)=b $

$ \displaystyle f(7)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $

...

Dunque $ f(n+5)=f(n) $

Ora, da $ f(2005)=1 $, ricaviamo $ f(0)=1 $.

Consideriamo ora l'altra relazione:

$ f(f(20052005))=2\Rightarrow f(f(0))=2\Rightarrow f(1)=2 $

Ora, conoscendo $ f(0) $ ed $ f(1) $, possiamo calcolare ogni valore
assunto dalla funzione.Più precisamente, essa genera il ciclo

$ f(0)=1 $
$ f(1)=2 $
$ f(2)=3 $
$ f(3)=2 $
$ f(4)=1 $
$ f(5)=1 $
...

Ora ci resta da calcolare $ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte}) $

Poniamo

$ A=\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte} $

$ f(A)=f(0)=1 $

$ f^2(A)=f(f(A))=f(1)=2 $

$ f^3(A)=f(f^2(A))=f(2)=3 $

$ f^4(A)=f(f^3(A))=f(3)=2 $

$ f^5(A)=f(f^4(A))=f(2)=3 $

...

Più in generale, osserviamo che:

$ f^k(n)=f(f^{k-1}(n)) $, $ f(2)=3 $, $ f(3)=2 $

Poichè $ f^2(A)=2 $, allora, posto $ k\geq 2 $

$ f^k(A)=2 $, se $ k $ è pari
$ f^k(A)=3 $, se $ k $ è dispari

Dunque

$ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte})=3 $

*Corretto errore di battitura
**Corretti altri due errori di battitura(speriamo gli ultimi )

Complimenti tutto esatto.

Grazie per i complimenti