OliForum Matematico

Premessa: in accordo al teorema fondamentale dell'Aritmetica, comunque scelto un intero $ n > 1 $, esistono $ r\in\mathbb{N}_0 $; $ p_1, p_2, \ldots, p_r \in \mathfrak{P} $ e $ a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ \displaystyle n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i} $. L'espressione di $ n $ in termini della produttoria così indicata vien detta correntemente la sua decomposizione canonica euclidea, o più semplicemente la sua fattorizzazione in primi.

Problema: essendo $ a, b\in\mathbb{N}_0 $, mostrare che esistono infiniti termini della progressione aritmetica $ \{ak + b\}_{k\in\mathbb{N}} $ le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi.

Questo invece è pensato per quei che, come me, non hanno la pretesa di saper discernere ciò ch'è bello da ciò che non lo è, e si limitano - quand'anche gli riesca - a ragionar di Matematica, piuttosto che di estetica trascendentale... Del resto, bisogna pur convivere... con i propri limiti!

Poniamo per ora

$ gcd(a,b)=1 $

Prendiamo:

$ s=ak+b $ e dimostriamo che esiste un termine della successione maggiore di $ s $ che ha gli stessi fattori primi . In particolare, dimostriamo che esiste un termine della successione uguale a $ s^n $, con $ n $ intero $ \geq 2 $.Infatti $ s $ e $ s^n $ hanno sicuramente gli stessi fattori primi.

Dobbiamo dunque trovare un $ h $ intero $ >k $ tale che

$ (ak+b)^n=ah+b $.

Affinchè $ h $ sia intero, deve essere

$ a\mid (ak+b)^n-b\Rightarrow a\mid b^n-b $.

L'ultima relazione trovata, tenendo conto che a e b sono coprimi, si può anche scrivere :

$ b^{n-1}\equiv 1\bmod a $.

Ma per il piccolo teorema di Fermat, basta prendere

$ n-1=\varphi(a) $, affinchè la relazione sia verificata.

Dunque, dato un termine $ s $ della successione $ ak+b $,ne esiste un'altro che è uguale ad una potenza di s, e che quindi ha gli stessi fattori primi.

Possiamo dunque concludere che che esistono infiniti termini della progressione aritmetica $ ak+b $, con $ gcd(a,b)=1 $ le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi.

Se invece $ gcd(a,b)=t $, con $ t>1 $, possiamo porre:

$ a=tm $
$ b=tn $, con $ gcd(m,n)=1 $

Avremo che:

$ ak+b=t(mk+n) $

Dato che, per quanto detto prima, possiamo trovare infiniti termini della progressione aritmetica $ mk+n $, le cui decomposizioni canoniche euclidee contengono esattamente gli stessi fattori primi, anche per la successione $ ak+b $ varrà la stessa proprietà e questo conclude la nostra dimostrazione.

Igor ha scritto:Prendiamo $ s=ak+b $ e dimostriamo [...] che esiste un termine della successione uguale a $ s^n $, con $ n $ intero $ \geq 2 $. [...] Dobbiamo dunque trovare un $ h $ intero $ >k $ tale che $ (ak+b)^n=ah+b $. Affinchè $ h $ sia intero, deve essere $ a\mid (ak+b)^n-b\Rightarrow a\mid b^n-b $.

Sì, è tutto molto bello, eppure la condizione ultima indicata è certo necessaria per l'esistenza del tuo agoniato $ h $, ma ben altro - ti dirò - che sufficiente... Dunque mi spiace: l'idea è interessante, eppure il risultato finale... vabbè, è quel che è! Chissà tuttavia che tu o qualcun altro non riusciate a metterci una pezza... Dico bene, talpa?!?

Dirichlet andante, eh..anyway, sia $ m=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $. Esso è $ \equiv b $ mod $ a $. Moltiplicando $ m $ per $ t $ siamo apposto. Prima che EuLEr si infuri, $ t $ è $ p_i^{O_a} $, ove $ O_a $ è l'ordine di $ p_i $ in base $ a $, ovvero il più piccolo $ \beta $ positivo intero t.c. $ p_i^{\beta}\equiv 1 $ modulo $ a $. Da ciò, moltiplicando $ m $ per ogni$ p_i^f $, con $ f $ multiplo di $ O_a $, la tesi.

Scusa Hit, ma non capisco.

Prendiamo

$ \displaystyle h=\frac{(ak+b)^{\varphi(a)+1}-b}{a}\displaystyle $

Per i motivi esposti nel mio post, $ h $ è sicuramente intero.

Ed inoltre,

$ ah+b=(ak+b)^{\varphi(a)+1} $

Dov'è che sbaglio?

HumanTorch ha scritto:[...] sia $ m=\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $. Esso è $ \equiv b $ mod $ a $. Moltiplicando $ m $ per $ t $ siamo apposto. Prima che EuLEr si infuri, $ t $ è $ p_i^{O_a} $, ove $ O_a $ è l'ordine di $ p_i $ in base $ a $, ovvero il più piccolo $ \beta $ positivo intero t.c. $ p_i^{\beta}\equiv 1 $ modulo $ a $. Da ciò, moltiplicando $ m $ per ogni$ p_i^f $, con $ f $ multiplo di $ O_a $, la tesi.

Stai male? Cioè, vi prego... Qualcuno è in grado di tradurre? Io non ci ho capito niente, ma forse voi...

Btw, l'unico andante che conosco e apprezzo è di Paganini, sonata #6. Te lo consiglio, HumanTorch. La musica aiuta a concentrarsi, e ispira nella scrittura, oltre che nel pensiero. Forse che ti manchi giusto l'ispirazione?

Scusa HiT, potresti rispondere alla mia domanda?

Son qui, Igor, appena di ritorno dalla capitale. Dunque... Non so davvero perché abbia commentato a quel mondo il tuo primissimo intervento sul topic! Del resto, sono trascorsi ben due giorni da allora, e la mia memoriaaa... Eh, la mia memoria! Vabbè, vabbè... Tirando a indovinare, scommetto volessi vedere a tutti i costi com'era fatto quel tuo $ h $, sbuff... Per farla breve, risparmiandomi ulteriori ammende: la tua soluzione è perfetta! Chiara, semplice, esemplare. Questa è la mia umile opinione, naturalmente...