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Equazione a tre variabili
Inviato: 22 lug 2005, 21:29
da mark86
Dimostrare che le soluzioni intere positive dell'equazione
$ x+y+z=xyz $
sono numeri distinti. Dimostrare che l'unica soluzione è costituita dalla terna 1, 2, 3.
(Se è possibile nel modo più elementare... grazie)
Inviato: 22 lug 2005, 23:38
da thematrix
Supponiamo che ci siano due termini uguali,per esempio $ x=y $.L'equazione così diventa$ 2y+z = y^2z $,quindi $ zy^2-2y-z = 0 $.Affinchè abbia soluzioni intere,è necessario che il $ \Delta $ sia un quadrato perfetto.In questo caso è uguale a $ 4z^2+4 = (2z)^2+4 $,che non potrà mai essere un quadrato perfetto,con z intero positivo.Infatti avremo $ \Delta - (2z)^2 = (\sqrt{\Delta}+2z)(\sqrt{\Delta}-2z) = 4 $,ma $ z > 0 $,quindi non ci sono soluzioni.
Ora,supponiamo $ z > x,y $.se $ xy = 2 $,abbiamo la soluzione $ 1,2,3 $.Se,invece,$ xy > 2 $,abbiamo $ x+y+z < 3z \leq xyz $,quindi non ci saranno soluzioni.