TdN: i numeri armonici e un limite di densità
Inviato: 25 lug 2005, 08:18
Questo me lo so' inventato io! 
Premesse: sia $ \{p_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi di $ \mathbb{N} $. Per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, sia quindi $ \{H_t\}_{t\in\mathbb{N}_0} $ la sequenza dei numeri armonici. Posto $ \displaystyle H_t = \frac{x_t}{y_t} $, per ogni $ t\in\mathbb{N}_0 $, con $ x_t, y_t \in \mathbb{N}_0 $ e $ \gcd(x_t, y_t) = 1 $, si assuma $ \tau(n) = \min\{t\in\mathbb{N}_0: p_n \mid x_t\} $, se $ n $ è un intero $ \geq 2 $. La corretta definizione della funzione $ \tau(\cdot) $ è conseguenza (fra gli altri) del teorema di Wolstenholme. Ebbene:
Problema: essendo $ n\in\mathbb{N}_0 $, poniamo $ A_1 = \emptyset $ ed $ A_n = \{k\in\mathbb{N}_0: 2 \leq k \leq n\mbox{ }\wedge\mbox{ }\tau(k) < p_k - 1\} $, se $ n \geq 2 $. Si valuti il limite $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{|A_n|}{n} $.
Premesse: sia $ \{p_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi di $ \mathbb{N} $. Per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, sia quindi $ \{H_t\}_{t\in\mathbb{N}_0} $ la sequenza dei numeri armonici. Posto $ \displaystyle H_t = \frac{x_t}{y_t} $, per ogni $ t\in\mathbb{N}_0 $, con $ x_t, y_t \in \mathbb{N}_0 $ e $ \gcd(x_t, y_t) = 1 $, si assuma $ \tau(n) = \min\{t\in\mathbb{N}_0: p_n \mid x_t\} $, se $ n $ è un intero $ \geq 2 $. La corretta definizione della funzione $ \tau(\cdot) $ è conseguenza (fra gli altri) del teorema di Wolstenholme. Ebbene:
Problema: essendo $ n\in\mathbb{N}_0 $, poniamo $ A_1 = \emptyset $ ed $ A_n = \{k\in\mathbb{N}_0: 2 \leq k \leq n\mbox{ }\wedge\mbox{ }\tau(k) < p_k - 1\} $, se $ n \geq 2 $. Si valuti il limite $ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{|A_n|}{n} $.