OliForum Matematico

Dati nel piano un segmento AB ed una retta r, che non intersechi AB, determinare il punto (o i punti) di r, dai quali AB `e visto secondo un angolo massimo.

Ancora una volta posto la mia costruzione in bianco (se potete verificarne la correttezza sarebbe veramente utile)

Si conducano la/le circonferenze passanti per A e B e tangenti alla retta. Il / i punto/i di tangenza sono quelli cercati.
Se r // AB allora vi è un solo punto che è la proiezione del del punto medio di AB sulla retta
Se r è perpendicolare ad AB i punti sono due, simmetrici all'intersezione fra la retta e il prolungamento di AB

Nessuno si presta??? Non credo che i problemi (ce n'è un altro in Geometria) siano impossibili... quindi non mi spiego come mai nessuno si è gettato a capofitto! O forse sono troppo banali e idioti? No, no deve esserci un'altra ragione (spero...) ma quale sarà?
Aspetto con ansia

La geometria non piace a nessuno, caro il mio mark86...purtroppo, questo è lo stato dell'arte.
Per passare al problema, è vero, non è difficilissimo, ma giustificare perchè quei punti trovati vanno bene può non essere completamente banale...almeno nella geometria sintetica.
Per il resto, su, qualcuno risolva il quesito!!

PS : la tua sol è giusta, ma perchè quei punti??

Me lo sono chiesto anche io... ma non sono riuscito a darmi risposta.... Vedrò se si accende qualche altra lampadina

p.s. Non è che potresti dare un'occhiata anche all'altro problema di geometria che ho postato? 1000 grazie

Non so quanto sia giusta..mi sembra un lunghina(e avevate detto che è facile)..ma visto che è un bel po’ che snobbo la geometria (e nemmeno il più bel e colorato grafo ad albero eguaglia l'eleganza geometrica )..

Devo dimostrare che l'angolo massimo si ha in coincidenza con il punto di tangenza tra la(una delle..) cfr tangenti alla retta e passanti per A,B.
1) quando ho una e quando più cfr con questa proprieta?
Dati due punti nel piano A,B e una retta r. sia B il punto più vicino ad r. i centri delle cfr cercate sono equidistanti da B e da r..e quindi devono giacere sulla parabola con B fuoco e r direttrice.
Essi sono equidistanti tra A e B e quindi devono giacere sull’asse di A,B. questo asse ha un solo punto di intersezione con la parabola se e solo se (non può essere esterno alla parabola o tangente in quanto A è più distante di B dalla retta r..) è perpendicolare ad r (e quindi AB è parallelo ad r..) in tutti gli altri casi avrà due punti di intersezione con essa. In particolare se AB coincide con l’asse della parabola (ed è perpendicolare ad essa..) c’è simmetria e le due cfr cercate avranno lo stesso raggio. Inoltre noto che i due centri cercati(quando sono due..) stanno da due parti opposte rispetto ad AB retta.

2) dimostro ora che il massimo si ha in corrispondenza del punto di tangenza con una di quelle due cfr.
prendo un punto P qualsiasi della retta e lo confronto con il punto di tangenza sul suo semipiano rispetto ad AB che chiamo Q. Questo punto c’è per quanto detto sopra, anzi dimenticavo se AB \\ r i punti di r stanno solo in un semipiano..quindi è tutto OK.
Chiamo a l’angolo AQB e b l’angolo APB. PB o PA intersecherà la cfr cui appartiene Q perché da P possono partire due tangenti verso cfr e una è r quindi se non intersecassero la cfr allora o A o B coinciderebbero con Q e tutto degenererebbe. Chiamo D il (o un) pto di intersezione tra PB (o PA) e la cfr.l’angolo ABD = a perché insistono sullo stesso arco e dalla stessa parte rispetto ad esso.
Suppongo ora (ma è lo stesso..) che PB intersechi la cfr.
Ottengo quindi il triangolo APD e chiamato c l’angolo PAD avrò: b+c+180-a (angolo supplementare ad a..) = 180 e quindi b+c=a e a > b che è la tesi..

3) guardo ora gli angolo dei due punti di tangenza(quindi AB non parallela a r e suppongo diverse tra loro e quindi AB non perpendicolare ad r se non sarebbero =)..
C è il punto di tangenza della cfr più piccola C’ dell’altra. Disegno il simmetrico di C’ rispetto ad AB retta. Lo chiamo P. si verifica facilmente che AC’P è isoscele e che ABC’ e ABP sono congruenti.P è esterno alla cfr perchè non sono simmetriche rispetto ad AB e una ha il raggio più grande, inoltre P non appartiene all'asse di AB perchè simmetrico di C' e se una retta fosse tangente alla cfr nell'asse di AB allora essa sarebbe \\ ad AB ma non è questo il caso quindi non appartenendo P all'asse non si possono condurre da esso due tangenti in A e in B alla cfr. O PA o PB intersecano la cfr. Suppongo ancora che sia PB ad intersecarla (e ora come prima..) chiamo D l’intersezione. Chiamo a l’angolo ACB e b APB.
Ottengo quindi il triangolo APD e chiamato c l’angolo PAD avrò: b+c+180-a (angolo supplementare ad a..) = 180 e quindi b+c=a e a > b . quindi quando le due cfr hanno raggio diverso l’angolo maggiore si ha in corrispondenza della minore.

buona lettura e buon appetito..Simone

Tralascio i casi particolari.I punti P di r che vedono AB sotto un angolo
$ \alpha \leq90° $ stanno anche sull'arco maggiore della circonferenza c
passante per A e B e di centro O (posizionato sull'asse di AB) tale che sia
$ AOB=2 \alpha $.Naturalmente c varia al variare di $ \alpha $
( in figura ne ho disegnato 2,l'una di centro O,che e' proprio tangente
ad r ma che puo' essere sostituita da una qualsiasi, l'altra di centro O').
Si vede che :AOB=2*AOM>2*AO'M=AO'B e dunque $ 2\alpha $
cresce quanto piu' O si avvicina ad AB o equivalentemente quanto piu'
O dista da r.Pertanto,restando nell'insieme delle rette non esterne a c,
il massimo di $ 2\alpha $ e quindi di $ \alpha $ lo si ottiene
quando O ha la massima distanza da r ovvero quando c e' tangente ad r.
Per costruire tali circonferenze (vedi l'altra figura) si descriva la semicirconferenza
di diametro CB (C intersezione di r con la retta di AB) :la perpendicolare
da A a CB intersechi tale semicrf. in D e si riporti CD su r in CP1 e CP2.
P1 e P2 sono i punti richiesti e poiche' sono due ritengo che uno corrisponda ad
un massimo e l'altro ad un minimo.
Resta da osservare che :
Il minimo ed il massimo trovati sono a loro volta funzione dell'angolo
tra r e la retta di AB ed in particolare ,se la circonferenza di diametro AB e'
tangente ad r,allora l'angolo richiesto e' 90° ed e' il massimo in assoluto.