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Siano $ x,y,z $ e $ \alpha, \beta, \gamma $ numeri reali tali che

$ \alpha z - 2\beta y + \gamma x = 0 $, $ \alpha \gamma - \beta^2 > 0 $

Dimostrare che

$ xz-y^2 \leq 0 $

Possiamo dividere il problema in due casi.

Caso 1:$ \displaystyle \alpha \geq x ; z \geq \gamma $,oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; z \leq \gamma $.

Abbiamo $ \displaystyle \beta^2+y^2 \geq 2\beta y = \alpha z + \gamma x \geq \alpha \gamma + zx $(l'ultimo passaggio per la disuguaglianza di riordinamento).Ovviamente,affinchè la disuguaglianza regga,se $ \displaystyle \beta^2 \leq \alpha \gamma $,allora $ \displaystyle y^2 \geq zx $.

Caso 2:$ \displaystyle \alpha \geq x ; \gamma \geq z $, oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; \gamma \leq z $.

In questo caso,si ha $ \displaystyle 2 \beta y = \alpha z + \gamma x \geq 2 \sqrt{\alpha \gamma z x} $,quindi $ \displaystyle \beta x \geq \sqrt{\alpha \gamma z x} $.Poichè $ \displaystyle \beta \leq \sqrt {\alpha \gamma} $,per forza $ y \geq \sqrt{z x} $,e quindi la tesi.

Non ho capito come hai classificato i due casi (che non tengono conto di $ \beta $ e di $ y $)... potresti chiarire questo mio dubbio?

effettivamente,a guardar bene,la dimostrazione del II caso regge anche per il I... il fatto è che avevo in mente di utilizzare la disuguaglianza di riordinamento

Quindi??? Non manca ad esempio l'esame di un caso del tipo... $ \alpha < \beta $ ?? Boh, non ho capito molto il criterio con cui è stata scelta la casistica da analizzare...

l'espressione era $ \displaystyle 2 \beta y = \alpha z + \gamma x $,quindi ho pensato di vedere i possibili ordinamenti a secondo membro

Ok, ora è chiaro, merci....

Se si suppone che sia x,y,z<>0 si puo' procedere cosi'.
Cominciamo con l'osservare che $ \alpha $ e $ \gamma $ devono essere entrambi diversi da 0 e di egual segno.
Cio' detto si ha: $ \displaystyle \beta=\frac{\alpha z+\gamma x}{2y} $
e quindi sostituendo risulta:
$ (z^2)\alpha^2+2(xz-2y^2)\alpha \gamma+(x^2)\gamma^2<0 $
Tale relazione si puo' interpretare come una disequazione nella indeterminata
$ \frac{\alpha}{\gamma} $ avente il primo coeff. positivo e quindi possibile solo se il discriminante e' positivo:
$ (xz-2y^2)^2-x^2z^2>0 $ od anche $ y^2-xz>0 $
C.V.D.
Negli altri casi si giunge a dimostrare che :$ y^2-xz=0 $ oppure
come prima $ y^2-xz>0 $