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Siano $ a,b \in \mathbb Q $ tali che

$ a^5+b^5 = 2 a^2 b^2 $

dimostra che $ 1-ab $ è il quadrato di un razionale.

E io che credevo che il mio avatar fosse inquietante!

Se $ ab = 0 $, allora necessariamente $ a = b = 0 $, e perciò $ 1 - ab $ è un quadrato perfetto. Sia dunque per il seguito $ ab \neq 0 $. Poniamo $ k = b/a $, ovvero $ b = ak $. E allora: $ a^5 + b^5 = 2a^2 b^2 $ sse $ (1+k^5)\cdot a = 2k^2 $. Se $ k = -1 $, allora $ b = -a $, e perciò $ 0 = a^5 + (-a)^5 = 2a^4 $, ovvero $ ab = 0 $, di contro all'assunzione di cui sopra. Quindi $ 1+ k^5 \neq 0 $, e da ciò $ \displaystyle a = \frac{2k^2}{1+k^5} $. Indi, finalmente: $ \displaystyle 1 - ab = 1 - k a^2 = 1 - \frac{4k^5}{(1 + k^5)^2} $ $ \displaystyle = \left(\frac{1 - k^5}{1+k^5}\right)^{\! 2} $. E siccome $ k\in\mathbb{Q} $, ne fa seguito la tesi, q.e.d.