Problema sulla parte decimale
Inviato: 29 lug 2005, 14:48
Dimostrare che se x è un numero intero positivo tale che sqrt(x) è irrazionale, allora almeno una delle cifre della parte decimale di sqrt(x) è uguale a 2,3,5,7.
Al solito, io suggerirei di generalizzare la questione e tentar piuttosto di provare il seguente:
Claim: se $ n\in\mathbb{N} $ non è un quadrato perfetto, allora l'espansione $ b $-esimale della sua radice quadrata, essendo $ b $ un intero $ > 1 $, contiene almeno una volta ogni cifra dell'insieme $ \mathcal{D}_b = \{0, 1, \ldots, b-1\} $.
Qualche osservazione, giusto per non rendere del tutto fine a se stesso quest'intervento:
i) per quanto ne so, il claim potrebbe benissimo costituire una open question, anche perché mi pare intimamente connesso alle ricerche (tutt'oggi in corso) sui cosiddetti numeri normali (click!), per quanto la condizione posta sopra appaia essere (almeno a prima impressione) infinitamente rilassata rispetto alla condizione di normalità;
ii) se il claim fosse mai vero, allora una sua dimostrazione non potrebbe certo prescindere dalla natura particolare degli irrazionali in gioco. Per convincersene, si pensi alla costante di Liouville $ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^{n!}} $. Che sia una proprietà caratteristica di tutti gli irrazionali algebrici su $ \mathbb{Q} $? Ok, sono d'accordo: una generalizzazione per volta, gh...
Per il momento non mi viene null'altro in mente su cui riflettere! Auguriamoci che arrivino buone idee anche da parte dei nostri capoccioni made in sns. Il problema mi pare piuttosto meritevole, quindi...