Problema: determinare tutte le coppie $ (a, n) $ di interi non nulli tali che $ a^n $ contiene unicamente cifre dispari nella propria rappresentazione decimale (si trascurino al solito gli zeri posti a sinistra della cifra più significativa).
E quando invece a^n possiede unicamente cifre dispari?
E quando invece a^n possiede unicamente cifre dispari?
Eccovi la naturale generalizzazione del Komal riproposto dal sottoscritto e risolto da Loth a quest'indirizzo. Il problema a questo punto è banale, ma forse non è del tutto vano rigirarvelo! E' un self-posed, per quanto ne so, che il modo più semplice per inventarsi dei "nuovi" problemi è appunto quello di generalizzarne di vecchi...
Problema: determinare tutte le coppie $ (a, n) $ di interi non nulli tali che $ a^n $ contiene unicamente cifre dispari nella propria rappresentazione decimale (si trascurino al solito gli zeri posti a sinistra della cifra più significativa).
Problema: determinare tutte le coppie $ (a, n) $ di interi non nulli tali che $ a^n $ contiene unicamente cifre dispari nella propria rappresentazione decimale (si trascurino al solito gli zeri posti a sinistra della cifra più significativa).
HiTLeuLeR ha scritto: Il problema a questo punto è banale, ma forse non è del tutto vano rigirarvelo! E' un self-posed, per quanto ne so, che il modo più semplice per inventarsi dei "nuovi" problemi è appunto quello di generalizzarne di vecchi...
mi sa che questa il buon vecchio Hit ha preso un abbaglio..
rispondo piu che altro perchè alla gara enriques individuale è capitato il seguente problema: " trovare tutti i (p,q) interi positivi tali che $ 3^p7^q $ abbia tutte le cifre dispari"
be, è stato l'unico che non ci ho messo mano
!ad ogni modo, come Loth, scriviamo $ a $ nella rappresentazione decimale come $ a_ka_{k-1}a_{k-2}...a_2a_1a_0 _{(10)} $.
intanto eliminiamo qualche soluzione banale $ (1,n),(-1,n),(3,2),(-3,2),(d,1) $ dove $ n \in Z $ e $ d $ è un numero a tutte le cifre dispari.
inoltre per il post linkato si ha che se $ n \equiv 0 \pmod 2 $ non esistono altre soluzioni. se n<2 non ci sono altre soluzioni ovviamente. wlog assumiamo quindi n>1 e a>1, $ a\equiv n \equiv 1 \pmod 2 $ (da considerare infine che se (a,n) è soluzione lo è anche (-a,n)).
lemma facile facile. sia c un intero positivo dispari minore di 10, allora $ c^n $ contiene almeno una cifra pari in base 10 $ \forall n>2 $.
Dimostr: $ c \in \{1,3,5,7,9\} $.
se c=1 la tesi è banale.
se c=3 allora 3*3*3=27 e la base dell'induzione è vera, e posta vera la tesi per $ 3^n $ è banale dimostrarla per $ 3^{n+1} $. per ipotesi esistono d,f interi positivi, con $ f \in \{1,3,7,9\} $ tale che $ 3^n=20d+f $, ma allora $ 3^{n+1}=60d+3f $ è anche di quella forma (basta fare le tabelline
)se c=5 sanno anche i bambini che $ c^n $ termina sempre per 25
se c=7 o c=9 si procede sull falsariga di c=3.
torniamo al problema; poniamo $ a=10k +d $ , $ d \in \{1,3,5,7,9\} $ e n=2h+1. allora $ a^n \equiv d^{2h+1} + 10k(2h+1)d^{2h} $, ma $ d^{2h+1} $ rispetta il lemma precedente e $ 20 | 10k(2h+1)d^{2h} $ sse $ 20 | 10k $ cioe se k pari.
be, credo che Hit qui volesse arrivare..si è semplicemente dimenticato di ammettere come ipotesi che "se a è dispari allora ha la cifra delle decine pari".. le soluzioni sono quindi gia tutte state trovate.
la gara enriques ne segue banalmente..
..ammettiamo di non assumere tale ipotesi..assicuro che mi sono passato "a mano" tutti i numeri della forma $ a^n \le 10^{12} $
si, sono matto, ho passato due ore su excel a fare questa inutile ricerca:
queste sono le "sole"(modulo errori di vista) soluzioni da aggiungere:
(11,3),(15,3),(15,5),(33,5),(91,3),(173,3),(175,3),(179,3),(211,3),(4631,3)
ad ogni modo,bel problema Hit..
The only goal of science is the honor of the human spirit.