OliForum Matematico

trovare
$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^k}{n^n} $.

Lol!
Nell'altro thread tmart asserisce che il limite sia e.
Quindi, per rendere sensata la richiesta di ma_go (che è altrimenti soggetta a delle ovvie inconsistenze), direi di modificarla in "dimostrare o confutare che il limite qua sopra è e.".

Ma siamo sicuri che sia e? Per me fa 1...

no, affatto...
uffi, io volevo dire "trovare", non volevo dire "provare che il limite è $ e $ o confutarlo... sono due cose diverse!
in ogni caso.. secondo me il limite è un altro, e dovrei averne una prova... onde evitare figuracce, lascio a voi i tentativi..
(anche perché proporre e risolvere un problema sa molto di autoproclamazione o autoesaltazione o cose simili...)

giusto per sapere, senza dimostrazione, per te quanto viene?

allora, controprova grossolana
$ \frac{\sum_{j=1}^{n}j^j}{n^n}<1+\frac{(n-1)(n-1)^{n-1}}{n^n}\to 1+\frac{1}{e}<e $

mea culpa...

Stavo leggendo adesso la correzione che hai apportato in TdN. Quel limite fa e?

in #olimpiadi era sorta come
$ \frac{(n+1)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e \iff \frac{(n)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{(n+k)^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to e^k $

j'ai regrette


EDIT: Sulla enciclopedia delle sequenze intere "a(n+1)/a(n) > e*n" dove a(n) è la nostra somma

PS: $ \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n}j^j}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n}j^j}{n^n}\to 1 \iff \frac{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}{n^n}\to 0 $$ \iff \frac{n^n}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}\to \infty $
vero perché
$ n^{n-1}=((n-1)+1)^{n-1}>\sum_{j=1}^{n-1}(n-1)^j>\sum_{j=1}^{n-1}j^j $
ovvero
$ n\frac{n^{n-1}}{\sum_{j=1}^{n-1}j^j}>n\to \infty $

ma_go ha scritto:uffi, io volevo dire "trovare", non volevo dire "provare che il limite è $ e $ o confutarlo... sono due cose diverse!

Esatto, sono due cose diverse: la seconda ha senso, la prima no.

vogliamo fare i puntigliosi?
determinare l'esistenza o meno del limite succitato.
nel caso esista, calcolarlo.

ma_go ha scritto:calcolarlo.

E' appunto questo "calcolarlo" ad essere inconsistente.
Ma non facciamo i puntigliosi!!!

Allora, dimostriamo per induzione che $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^k < (n+1)^{n+1} $.

Per $ n=1 $ viene $ 1<4 $, mentre per $ n>1 $ viene

$ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^k = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+n^n < n^n+n^n = 2n^n < 2(n+1)^n < (n+1)^{n+1} $.

Ora dimostriamo che $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n}=0 $.

$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k}{n^n} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k^k + (n-1)^{n-1}}{n^n} \leq \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {2(n-1)^{n-1}}{n^n} = $

$ = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{n}\cdot \left( \frac{n-1}{n}\right)^{n-1} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{e \cdot n} = 0 $

Ma siccome la successione ha termini tutti positivi, il limite è proprio $ 0 $.

Per concludere,

$ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^k}{n^n}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^k+ n^n}{n^n}= 1 $

Scusate l'OT.