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Problema: determinare tutte le $ 4 $-uple $ (x,y,n,p) $ di interi positivi tali che $ p $ sia un numero primo ed $ x^3 + y^3 = p^n $.

Analizziamo innanzitutto il caso $ n=1 $.Abbiamo che

$ x^3+y^3=p\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=p $

Poichè $ x $ e $ y $ sono positivi, abbiamo che $ x+y>1 $. Allora l'unica possibilità è che sia

$ x+y=p $
$ x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=1\Rightarrow\frac{p^2-1}{3}=xy $

Poichè $ x+y=p $, il massimo di $ xy $ è $ \frac{p-1}{2}*\frac{p+1}{2}=\frac{p^2-1}{4} $ quando $ p $ è dispari, $ \frac{p}{2}*\frac{p}{2}=\frac{p^2}{4} $ quando $ p $ è pari.
Se $ p $ è dispari dovremmo avere allora

$ \frac{p^2-1}{3}=xy\leq\frac{p^2-1}{4} $ assurdo.

Se invece $ p $ è pari, cioè se $ p=2 $, l'uguaglianza è verificata,con$ x=y=1 $.Infatti $ \frac{2^2-1}{3}=1 $.

Dunque, per $ n=1 $, l'unica soluzione è la quadrupla $ (1,1,2,1) $.

Poniamo ora $ n\geq 2 $.Torniamo all'equazione di partenza

$ x^3+y^3=p^n\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=p^n $

L'ultima relazione si può scrivere anche come

$ x+y=p^a $
$ x^2-xy+y^2=p^b $,

con $ a,b\in\mathbb{N} $ e $ a+b=n $.

Dimostriamo che $ b>0 $.Se infatti fosse $ b=0 $ avremmo che

$ x+y=p^n $
$ x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=1\Rightarrow\frac{p^{2n}-1}{3}=xy $

Poichè $ x+y=p^n $, il massimo di $ xy $ è $ \frac{p^n-1}{2}*\frac{p^n+1}{2}=\frac{p^{2n}-1}{4} $ quando $ p $ è dispari, $ \frac{p^n}{2}*\frac{p^n}{2}=\frac{p^{2n}}{4} $ quando $ p $ è pari.

Se $ p $ è dispari dovremmo avere allora

$ \frac{p^{2n}-1}{3}=xy\leq\frac{p^{2n}-1}{4} $ assurdo

Se $ p=2 $ dovremmo avere

$ \frac{2^{2n}-1}{3}=xy\leq\frac{2^{2n}}{4} $

Tuttavia, per $ n\geq 2 $, abbiamo $ \frac{2^{2n}-1}{3}>\frac{2^{2n}}{4} $, in contrapposizione con quanto appena ricavato.Possiamo dunque concludere che $ b\geq 1 $.

Abbiamo quindi che

$ x+y=p^a $
$ x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p^b\Rightarrow p^{2a}-p^b=3xy $

$ p^b(p^{2a-b}-1})=3xy $.

Dato che $ b\geq 1 $,se poniamo $ p\neq 3 $, almeno uno tra $ x $ ed $ y $ deve essere multiplo di $ p $.Per simmetria, ammettiamo che sia $ x $.Poniamo allora

$ x=p^h*S $, con $ h,S\in\mathbb{N} $ e $ (S,p)=1 $.

Sostituendo nell'equzione di partenza, otteniamo

$ p^{3h}*S^3+y^3=p^n\Rightarrow y^3=p^{3h}(p^{n-3h}-S^3) $.Quindi anche $ y $ è multiplo di $ p $, e la massima potenza di $ p $che lo divide è $ p^h $.Poniamo allora

$ y=p^h*T $, con $ T\in\mathbb{N} $ e $ (T,p)=1 $.

Sostituendo nuovamente nell'equazione di partenza troviamo

$ p^{3h}*S^3+p^{3h}*T^3=p^n\Rightarrow S^3+T^3=p^{n-3h} $

Se $ n-3h>1 $ allora, per quanto appena visto, $ S $ e $ T $ dovrebbero essere multipli di $ p $.Ma abbiamo anche $ (S,p)=(T,p)=1 $,assurdo.

Dunque $ n-3h=1 $.Per quanto già visto, l'unica soluzione in questo caso è data da

$ S=1 $, $ T=1 $, $ p=2 $,da cui ricaviamo la quadrupla $ (2^h,2^h,2,n) $.Poichè $ n=3h+1 $, ricaviamo che la soluzione è la quadrupla

$ (2^h,2^h,2,3h+1) $

che, prendendo il valore $ h=0 $, include anche la soluzione del caso $ n=1 $.

Ora resta solo da esaminare il caso $ p=3 $.
Abbiamo che

$ x+y=3^a $
$ (x+y)^2-3xy=3^b\Rightarrow 3^{2a}-3^b=3xy $

$ 3^{2a-1}-3^{b-1}=xy $.

Ammettiamo che sia $ b=1 $.
Otteniamo così il sistema

$ x+y=3^a $
$ 3^{2a-1}-1=xy $.

Risolviamo il sistema rispetto alla variabile $ y $

$ \displaystyle y_{1/2}=\frac{3^a\pm\sqrt{4-3^{2a-1}}}{2}\displaystyle $

Se $ a\geq 2 $, allora il $ \Delta $ dell'equazione è negativo e quindi non ci sono soluzioni.

Per $ a=1 $ ricaviamo invece la soluzioni $ y_1=1 $ e $ y_2=2 $,per le quali i rispettivi valori di $ x $ sono $ 2 $ e $ 1 $.
Inoltre,dalla relazione $ n=a+b $ ricaviamo $ n=2 $.

Per $ b=1 $ abbiamo dunque le soluzione $ (1,2,3,2),(2,1,3,2) $

Se $ b>1 $ allora almeno uno tra $ x $ ed $ y $ è multiplo di $ 3 $.Ripetendo allra lo stesso ragionamento fatto per il caso generale,ricaviamo che $ x=3^h*S^3 $ e $ y=3^h*T^3 $, con $ h,S,T\in\mathbb{N} $ e $ (S,p)=(T,p)=1 $.Sostituendo nell'equazione di partenza troviamo

$ S^3+T^3=3^{n-3h} $.

Ricaviamo allora che o $ S $ e $ T $ sono multipli di $ 3 $, oppure che $ S=1,T=2 $ o$ S=2,T=1 $,con $ n-3h=2 $.Ma poichè $ (S,p)=(T,p)=1 $,dobbiamo escludere il caso in cui $ S,T $ sono multipli di $ p $
Allora $ S=1,T=2 $ o$ S=2,T=1 $, da cui ricaviamo le soluzioni

$ (3^h,2*3^h,3,n),(2*3^h,3^h,3,n) $

Inoltre,da $ n-3h=2 $, ricaviamo $ n=3h+2 $

Per il caso $ p=3 $ le soluzioni sono dunque le quadruple
$ (3^h,2*3^h,3,3h+2) $ e $ (2*3^h,3^h,3,3h+2) $.

In definitiva, le soluzioni della diofantea sono tutte e sole le seguenti quadruple:

$ (2^h,2^h,2,3h+1);(3^h,2*3^h,3,3h+2),(2*3^h,3^h,3,3h+2) $ con $ h\in\mathbb{N}_0 $.

Edit. Grazie a Enomis per avermi segnalato un errore nella mia soluzione

Edit 2. Corretto typo.Grazie ad HiTLeuLeR per la segnalazione.

scusami Igor ma mi risulterebbe qualche soluzione in più nel caso p=3..cmq complimenti per il lavorone fatto..

Se p=3 e $ x+y<x^2-xy+y^2 $
$ x+y =3^k ; x\equiv-y (mod 3^k) $
$ x^2-xy+y^2=3^m $ .
$ 3x^2 \equiv 0 (mod 3^k) $ e $ x^2 \equiv 0 (mod 3^{k-1}) $ che potrebbe volere dire (non mi pare necessariamente..) $ x \equiv 0 (mod 3^{k-1}) $
tenendo conto che $ x<3^k $ e $ x \not =0 $ allora(se x è congrua 0 modulo $ 3^{k-1} $ ) $ x=3^{k-1} $ o $ x= 2*3^{k-1} $
se $ x=3^{k-1} $ allora sapendo che $ x+y = 3*3^{k-1} $ ottengo $ y=2*3^{k-1} $ . devo ora trovare il valore di n per completare la quadrupla(che sarà doppia per simmetria tra x e y).
$ (3^{k-1})^3+(2*3^{k-1})^3=3^n $
da cui $ n=3k-1 $e la(le due..invertendo x,y) quadrupla: $ (3^{k-1};2*3^{k-1};3;3k-1) $

Grazie Enomis.Ho trovato l'errore e riguarda solo il caso $ p=3 $.Fortunatamente la mia soluzione è salvabile.Provvedo subito a corregerla.

Sono io che devo ringraziarti..stavo già per postare una pagina e mezza di "soluzione" quando leggendo la tua mi sono accorto di qualche buco (non uno.. anche il caso p=3 l'avevo fatto male) nella mia..ma le quaterne erano le stesse tranne per p=3.
mi immagino le urla che Hit avrebbe fatto leggendola ..

Sì, Igor, i tuoi argomenti sono corretti, seppure (concedimelo) un po' troppo disorganizzati. Dico infatti che ti saresti potuto risparmiare parecchio se avessi stabilito, a capo di tutto il resto, che ogni possibile soluzione alla diofantea proposta è necessariamente della forma $ (p^k \cdot x_0, p^k \cdot y_0, p, n+3k) $, dove $ k\in\mathbb{N} $ ed $ (x_0, y_0, p, n) $ è una soluzione primitiva della stessa equazione, tale cioè per cui $ \gcd(x_0, y_0) = 1 $. Ma vabbè... Ah, senti poi:

Igor ha scritto: Dato che $ b\geq 1 $, se poniamo $ x\neq 3 $ [...]

Immagino che qui intendessi scrivere $ p $, al posto di $ x $, ma si tratta chiaramente di un errore di un typo. Ti raccomando comunque di correggerlo, altrimenti chi dovesse leggere potrebbe fini' per non capirci un cavolo...

HiTLeuLeR ha scritto:Sì, Igor, i tuoi argomenti sono corretti, seppure (concedimelo) un po' troppo disorganizzati...

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Hai ragione, HiT.Mi sono reso conto che avrei potuto risparmiare molte parole

Ho corretto il typo.Grazie per la segnalazione.