Claim: siano $ p \ge 3 $ un numero primo naturale ed $ a_1, a_2, ... , a_{p-2} $ una sequenza di interi tali che, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, p-2 $: $ p \nmid a_k $ e così pure $ p \nmid (a_k^k - 1) $. E allora, comunque scelto un residuo $ r\in\{2, 3, \ldots, p-1\} $, esistono $ t = 1, 2, \ldots, p-2 $ e una $ t $-upla $ (i_1, i_2, \ldots, i_t) $ estratta dall'insieme $ \{1, 2, \ldtos, p-2\} $, con $ i_1 < i_2 < \ldots < i_t $, per cui $ \displaystyle \prod_{k=1}^t a_{i_k} \equiv r \bmod p $.
Dim.: poiché $ p $ è primo in $ \mathbb{N} $, esiste $ g\in\mathbb{Z} $ tale che $ \mbox{ord}_p(g) = \varphi(p) = p-1 $ (si dice in questi casi che $ g $ è un generatore $ \bmod\: p $, oppure una radice primitiva $ \bmod\: p $).
Ergo, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, p-2 $, esiste $ \alpha_k \in \{0, 1, \ldots, p-2\} $ tale che $ a_k \equiv g^{\alpha_k} \bmod p $, ché $ \gcd(p, a_k) = 1 $. Osserviamo che, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, p-2 $, deve pure ammettersi $ \alpha_k > 0 $, ché altrimenti $ a_k \equiv 1 \bmod p $, e quindi $ a_k^k \equiv 1 \bmod p $, contro le ipotesi.
Ciò premesso, poniamo $ \mathcal{A}_0 = \{0\} $ ed $ \mathcal{A}_{k+1} = \mathcal{A}_k \oplus \{0, \alpha_{k+1}\} $, per ogni $ k = 0, 1, \ldots, p-3 $. Qui "$ \oplus $" denota la somma diretta in $ \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} $, nel senso che ogni elemento del generico insieme della sequenza $ \mathcal{A}_0, \mathcal{A}_1, \ldots, \mathcal{A}_{p-2} $ s'intende calcolato $ \bmod\: (p-1) $. Ebbene, a questo punto si tratta
semplicemente di dimostrare il seguente:
Lemma: per ogni $ k = 0, 1, \ldots, p-2 $: $ |\mathcal{A}_k| \geq k + 1 $. Perciò, in particolare: $ |\mathcal{A}_{p-2}| = p-1 $.
Bene, posso lasciarne la dimostrazione a te, Mind? O credi davvero che i pargoli abbiano la maturità necessaria e sufficiente per affrontare un problema del genere, quando qui in Italia, per via delle idee bislacche che si vanno sponsorizzando, già ricorrere al teorema di Dirichlet o al postulato di Bertrand suscita una sorta di sdegno generalizzato? E pensare che alle Olimpiadi Nazionali Bulgare del 2004 è stata proposta... la dimostrazione del teorema di Cauchy-Davenport.