OliForum Matematico

Dalle gare matematiche AIME 1985.
Un'ellisse di fuochi (9;20) e (49;55)
è tangente all'asse delle ascisse. Quanto è lungo il suo asse maggiore?
Grazie per la soluzione .

Visto che nessuno risponde...
Per evitare strade assai calcolose si puo' ricorrere alla podaria di una conica
che e' definita come il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da uno
qualunque dei fuochi della conica alle tangenti della stessa.Se la conica e'
a centro (ellissi od iperbole ) tale podaria e' la circonferenza di centro il centro
della conica e di diametro l'asse maggiore (o l'asse traverso) .
Nel caso nostro la podaria e' la circonferenza di centro C(29,75/2) e passante
per A(9,0) o B(49,0) [che sono i piedi delle perpendicolari all'asse x condotte
rispettivamente da F1 ed F2] e quindi di diametro :
2r=2*CA=2*CB=$ 2*\sqrt{20^2+(75/2)^2}} $=85.
Pertanto 2a=85.

Penso che si possano usare strumenti un poco più semplici ...
ad esempio, basta ricordare le proprietà "ottiche" dell'ellisse : consideriamo un punto C sull'ellisse e siano A,B i suoi due fuochi, sia t la tangente all'ellisse in C, allora A,C e il simmetrico di B rispetto a t sono allineati.
Questo significa che un raggio di luce uscente da un fuoco si riflette sull'ellisse finendo nell'altro fuoco.
Quindi, sia P il simmetrico del fuoco A rispetto all'asse x, dunque P=(9;-20) e PB=AC + BC dove C è il punto di tangenza dell'ellisse con l'asse x.
Ma PB=$ \sqrt{40^2+75^2}=85 $ che è per l'appunto la lunghezza dell'asse maggiore.
Anche senza ricorrere alle proprietà ottiche, si può giustificare a mano il fatto che P,C,B siano allineati, tramite la disuguaglianza triangolare.

Sinceramente non trovo che richiamare le proprieta' ottiche dei fuochi di una
conica sia (se pur di poco) piu' semplice che considerare quelle della podaria ,
tanto piu' che i due casi sono ,come e' noto, mutuamente dipendenti.
Se proprio si vuole diciamo che si tratta di due punti di vista diversi ma
del tutto equivalenti in termini di difficolta'.

Un liceale ha sicuramente sentito parlare delle proprietà ottiche in fisica (almeno, dovrebbe) ma di certo la curva podaria è ben oltre le conoscenze scolastiche di un qualunque studente delle superiori, non perchè troppo difficile, semplicemente sconosciuta. Il fatto poi che per una conica a centro sia una circonferenza è un fatto non banale.
La difficoltà a cui mi riferivo io non era di contenuti ... volevo dire che è più probabile che siano conosciute le proprietà ottiche delle coniche, che non le proprietà della loro curva podaria.

Secondo me non e' infrequente che al liceo si parli di podaria,
basti pensare che la podaria della parabola e' la tangente nel vertice.
Da qui a generalizzare il concetto a tutte le coniche il passo e' breve
e la relativa trattazione analitica non offre grandi difficolta'.
Se poi fosse come dice Evariste ne sarei rammaricato assai,visto
che personalmente ne parlo e ne sentii parlare ai tempi del liceo
(detto per inciso:bei tempi!).Sicche' tutta fatica sprecata la mia,quasi quasi
mi faccio risarcire!

Conosco numerosi testi liceali, nessuno dei quali parla della podaria o delle proprietà ottiche dell’ellisse; tenderei quindi a chiudere in pareggio la disputa fra Karl e EvaristG, pur senza escludere che qualche professore sia riuscito ad introdurre l'uno o l'altro dei due argomenti. Suggerisco una terza soluzione, accessibile a qualsiasi studente.
Detti F e G i due fuochi, a l’asse maggiore (non il semiasse) e P(x,y) il generico punto dell’ellisse, l’equazione di quest’ultima è data da PF+PG = a. Si liberi questa equazione dalle radici, la si metta a sistema con y = 0 e si imponga l’annullamento del discriminante, ottenendo così per a la soluzione data ed un'altra da scartare perchè uguale alla distanza fra i fuochi.
Questo metodo ha il difetto della lunghezza dei calcoli e del fatto che ad un certo punto i coefficienti diventano enormi. Per limitare questi inconvenienti consiglio tre artifici:
- effettuare una traslazione di 9 unità lungo l’asse x, in modo che la coordinate dei fuochi diventino (0,20) e (40, 55)
- porre subito y = 0
- fare le sostituzioni a = 5k e x = 5z

io, sinceramente, non avevo mai sentito parlare di podarie...
però, sinceramente, se karl&eva (la coppia assassina) si mettessero a postare un po' delle loro simpatiche conoscenze di geometria, o facessero una bella dispensina (una a testa, oppure insieme, oppure semplicemente collaborando) non penso che la cosa mi dispiacerebbe..
e penso che dispiacerebbe ben a pochi.
che sia anche nozionistica, magari... ci sono delle curiosità (vedi podarie, vedi altri teoremi pseudo-ignoti ma molto carini) che meriterebbero..
beh, io l'ho buttata lì

ma_go...lasciamo perdere.
A proposito del problema...un'altra soluzione può essere cercare il minimo della somma delle distanza dei due fuochi dall'asse x ... con una derivata si trova agilmente che tale minimo è
$ \displaystyle{(d+b)\sqrt{\frac{c-a}{d\pm b}+1}} $
con i fuochi in (a,b) e (c,d) ... il segno dipende da quale dei due valori è maggiore.

Non mi dilungo perchè il minimo di una funzione non è argomento sempre olimpico...qui temo si debbano usar le derivate se non si vuole complicare troppo il problema.

Ho riletto con più attenzione i precedenti interventi, e mi sembra promettente l'ultima frase scritta da EvaristeG nel suo intervento di giovedì 11 agosto, ma non la capisco bene. Posso chiedere come esattamente si giustifica l'allineamento dei punti P, C, B?

Elegantissima la soluzione con la podaria!
In ogni caso, con qualche conto ho scoperto che la condizione per cui
una retta di equazione y=mx+q risulta tangente ad un'ellisse
con fuochi (-1,0) e (+1,0) è

$ a^2 = \frac{q^2 + 1}{m^2 + 1} $

dove "a" è il semiasse maggiore dell'ellisse. Neppure così brutta.