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Calcola la somma $ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! $

Aggiungerei "per induzione"

Dunque non resta che scrivere per benino la soluzione...

Claim: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ \sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1 $.

Dim.: se $ n = 1 $, la tesi è banale, siccome $ 1 = 1 \cdot 1! = (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 1 $. Ammettendone poi la consistenza per un generico $ n\in\mathbb{N}_0 $, si trova $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = \left(\sum_{k=1}^n k \cdot k! \right) + (n+1) \cdot (n+1)! $. Da qui, stante l'ipotesi d'induzione: $ \sum_{k=1}^{n+1} k \cdot k! = (n+1)! - 1 + (n+1) \cdot (n+1)! $ $ = (n+1+1) \cdot (n+1)! - 1 = ((n+1) + 1)! - 1 $. Ne seguita l'asserto, q.e.d.

Da notare che questo tipo di problemi, specialmente nella formulazione data da mark86, sono pressoché privi di ogni senso, come del resto già Evariste, Mind & Co. hanno avuto ampio modo di sottolineare altrove (click).

Corretto il LaTeX. MindFlyer

Una piccola domanda.. come si è arrivati alla formula (n+1)! - 1 ?? Per intuito?
Esiste per caso un metodo per ricavarla?

Mettendosi a smanettare ci si può arrivare con l'intuito, almeno io la ricavai così a suo tempo (era un problema di un giornalino di fine 2001, se non ricordo male).

Oppure provi a ricondurti ad una telescopica (nel famoso giornalino mi pare fosse risolta cosi ma nn ci giurerei)...

Premetto di non aver cercato il problema sul giornalino(ci mancherebbe, a quest'ora poi ) però è buffo scomodare l'induzione quando si ha tutto sotto gli occhi: $ \sum{ii!}=\sum{(i+1-1)\cdot i!}=\sum{(i+1)!}-\sum{i!}=(n+1)!-1 $

Edit:Thanks feddystra.

jordan ha scritto:$ \dots=\sum{(i+1-1)!}=\dots $

Presumo $ \dots=\sum{(i+1-1)i!}=\dots $