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Dimostrare o confutare:

Esistono infiniti interi squarefree, divisi da $ k $ diversi numeri primi tali che
$ 2^k|p_1p_2\dots p_k -1 $

In base al teorema di Dirichlet, è fatto certo che, per ogni $ k\in\mathbb{N} $, l'insieme $ \mathcal{P}_k = \{p \in \mathfrak{P}: p \equiv 1 \bmod 2^k\} $ ha cardinalità infinita. Siano dunque $ p_1, p_2, \ldots, p_k\in\mathcal{P}_k $, con $ p_1 < p_2 < \ldots < p_k $. Evidentemente $ \prod_{i=1}^k p_i $ è libero da quadrati; inoltre $ \prod_{i=1}^k p_i \equiv 1 \bmod 2^k $. Di qui la tesi, q.e.d.

Da notare che il problema potrebbe stare benissimo nel subforum di TdN, visto che (senza bisogno di invocare il teorema di Dirichlet) esiste una via del tutto elementare per dimostrare che, per ogni $ k\in\mathbb{N} $, esistono infiniti primi naturali $ p \equiv 1 \bmod 2^k $. Tant'è che tempo addietro avevo proposto per l'appunto di provarlo (cliccate qui scorrendo la pagina fino in fondo). Immaginatevi un po' com'è finita...