OliForum Matematico

Problema (non troppo difficile ):

Su due rotaie orizzontali metalliche parallele, fissate nella loro posizione, è appoggiata trasversalmente una sbarra conduttrice mobile di massa M.

Le rotaie hanno resistenza trascurabile, mentre la sbarra è costituita da un materiale avente conducibilità C ed ha sezione trasversale A.

Tra le estremità delle due rotaie è mantenuta costante una f.e.m. E, che genera una corrente costante nel circuito formato dalle rotaie e dalla sbarra trasversale.

Tra le rotaie e la sbarra il coefficiente d'attrito statico è K.

Nella regione è possibile applicare un campo magnetico uniforme B. Qual è il minimo modulo di B necessario affinchè la sbarra cominci a strisciare lungo le rotaie?

Nota: si trascuri il campo magnetico indotto dalla corrente che circola nelle rotaie.

Supponendo un la f.e.m come ideale abbiamo:

f.e.m=E=V "...scusate la mancanza di simboli, ovviamente V sta per delta V..."

V=iR quindi i=V/R e dunque i=V*S/r*L dove r è la resistività e L è la lunghezza della sbarra.

Da cui otteniamo: i*L=V*S*c dove c è la conduttività.

Sappiamo che la forza d'attrito è in modulo: F=M*g*k.
Per far scorrere la sbarra trasversalmente il campo magnetico B deve essere entrante o uscente rispetto al piano individuato dalle due rotaie.

Comunque a noi interessa il modulo che si ricava da (scrivendo velocemente):

F=B*i*L e quindi B=MgK/VSc "Ho tralasciato a volte gli asterischi ma ovviamente sono tutti prodotti"

Ciao, spero sia giusto

E' sbagliato. Chi ti ha detto che il campo magnetico deve avere direzione perpendicolare? Può anche essere obliquo!

Va beh ho capito che può anche essere obliquo ma visto che nel testo non si specifica niente circa la sua direzione, il massimo rendimento si ha quando quando esso è perpendicolare. Cmq se è obliquo basta moltiplicare per il seno dell'angolo con cui si decide di inclinare il campo rispetto alla barra.

Ma non hai considerato che se la forza risultante ha una componente verso l'alto diminuisce la reazione normale e quindi diminuisce l'attrito. Devi trovare a quale angolo si ha quello che tu chiami rendimento massimo, in funzione degli altri parametri. Suggerimento: ovviamente c'entra il coefficiente d'attrito.

Nessuno vuole fare questo problema?

Stavo guardando i vecchi problemi quando mi sono imbattuto in questo..

$ R=r\frac{L}{A}=\frac{L}{Ac} $
$ i=\frac{V}{R}=\frac{VAc}{L} $

B lo dirigiamo perpendicolarmente alla sbarra in modo da massimizzare il modulo della forza a parità di B.
Il modulo della forza sarà quindi iLB.

Chiamo $ \theta $ l'angolo tra la perpendicolare al piano delle due rotaie e la forza magnetica.
Sia y l'asse perpendicolare al piano delle due rotazie e x l'asse parallelo alle rotaie e perpendicolare alla sbarra.

Lungo l'asse y avrò le seguenti forze: forza magnetica normale e forza peso.
$ iLB \cos\theta+Mg $ che sono annullate dalla reazione vincolare.

Lungo l'asse x avrò le seguenti forze attrito massimo (voglio che sia tutto sul punto di muoversi) e forza magnetica tangenziale:
$ -K(ilB\cos \theta+Mg)+ilB\sin\theta=0 $

Da cui:
$ B=\frac{kMg}{il(\sin\theta-k\cos\theta)} $

Voglio minimizzare il modulo di B, quindi dovrò massimizzare il modulo di
$ \sin\theta-k\cos\theta $
$ =\sqrt{1+k^2}(\frac{\sin\theta}{\sqrt{1+k^2}}- \frac{K\cos\theta}{\sqrt{1+k^2}}) $

e per le formule di sottrazione:
$ = \sqrt{1+k^2}\sin(\alpha) $
che è massimo in modulo quando il seno vale 1 o -1.

Quindi il valore minimo del modulo di B è:
$ B=\frac{kMg}{iL(\sqrt{1+k^2})} $
$ =\frac{kMg}{VAc(\sqrt{1+k^2})} $

PS: se volessi potrei anche facilmente scoprire l'angolo ma non è richiesto