OliForum Matematico

Visto che a qualcuno piace ... almeno facciamo le cose per bene.

La curva podaria di una curva C rispetto ad un punto P è il luogo dei piedi delle perpendicolari da P alle tangenti di C.

1) Supposto che C sia data dall'espressione parametrica
$ \left\{\begin{array}{lclcl}x&=&f(t)&&\\\ &\ &\quad&\qqua&t \in I\\y&=&g(t)&&\end{array}\right. $
trovare la parametrizzazione della sua curva podaria rispetto ad un punto $ P=(x_0,y_0) $.

2) Calcolare la podaria di una generica parabola rispetto ad un generico punto del piano. Discutere la natura della curva trovata al variare del punto.

3) Sia C una curva chiusa convessa, sia P un punto su di essa. Supponiamo di far rotolare la curva C lungo una retta r (facendo un giro completo). Sia R la curva descritta da P.
Dimostrare che l'area racchiusa tra R e r è pari a due volte l'area della curva podaria di C rispetto a P.

4) Verificare il risultato del punto 3) nel caso in cui C sia una circonferenza.

Buoni contazzi.

1° esercizio.
$ \displaystyle X=\frac{fg'^2-f'g'g+x_0f'^2+y_0f'g'}{f'^2+g'^2} $
$ \displaystyle Y=\frac{gf'^2-f'g'f+y_0g'^2+x_0f'g'}{f'^2+g'^2} $
(X,Y)= coordinate del generico punto della podaria;
f',g' =derivate di f(t) e g(t) rispetto a t.
Gli altri a seguire (se nessuno ci si mette).
Il procedimento e' il seguente.
Sia Q(f,g) il generico punto della curva C;la tangente t a C in Q e';
1) $ \frac{X-f}{f'}=\frac{Y-g}{g'} $
La normale a t da P e':
2) $ \frac{X-x_0}{g'}=-\frac{Y-y_0}{f'} $
Risolvendo rispetto ad X e Y il sistema di (1) e (2) si hanno le formule richieste.

Riporto qui il messaggio che karl ha postato in un nuovo topic, supponendo che sia la risposta ad una delle domande del mio post iniziale.

Nel caso di uina parabola del tipo y^2=2px (prendo questa altrimenti i
calcoli diventano siderali) si ha x=t^2/2p e y=t e quindi applicando
le formule del precedente post risulta:
$ \displaystyle X=\frac{(2x_0-p)t^2+2py_0t}{2p^2+2t^2} $
$ \displaystyle Y=\frac{t^3+2px_0t+2p^2y_0}{2p^2+2t^2} $
Per avere l'equazione della podaria occorrerebbe eliminare la t,cosa non
certo agevole (se poi qualcuno ci riesce...) percui mi limito a qualche caso particolare.
A)P coincide col fuoco (p/2,0).
In tal caso dalle precedenti formule si ricava:
X=0 ,Y=t/2 e dunque la podaria e' in questo caso la retta X=0 ovvero
la tangente alla parabola nel vertice (com'e' abbondantemente noto)
B)P coincide col vertice della parabola V(0,0).In tal caso si ha:
$ \displaystyle X=\frac{-pt^2}{2p^2+2t^2};y=\frac{t^3}{2p^2+2t^2} $
Dividendo la seconda formula per la prima si ottiene t=-pY/X che sostituita
nella prima fornisce l'equazione della podaria:
$ \displaystyle 2x(x^2+y^2)+py^2=0 $
Si tratta di una cubica passante per i punti ciclici del piano e per il punto
improprio dell'asse y in cui ha come tangente (asintoto) la retta x=-p/2.
La podaria passa altresi' per il vertice della parabola che e' punto doppio
per la curva e precisamente si tratta di una cuspide con tangente l'asse x (y=0).
Mi pare di ricordare che la nostra curva si chiami cissoide.

Il punto 3° lo trovo difficile da trattare per la complessita'
dei calcoli.Se poi c'e' una soluzione piu' agile sarei interessato
a conoscerla.
Punto 4°.
Con riferimento alla fig1 si hanno per la circonferenza le seguenti
equazioni parametriche:
x=r*sinT,y=r(1+cosT) ) con T=2t, le quali trasferite nelle formule generali
delle podaria portano alla podaria della circonf. rispetto al punto O:
X=r*sinT(1+cosT),Y=r*cosT(1+costT)
Tale curva e' detta cardioide per la sua caratteristica forma
a cu..ore rovesciato.
L'area racchiusa dalla cardioide e':
$ A=\int_\gamma ydx=r^2\int_0^{2\pi} cosT(1+cosT)d[sinT(1+cosT)]=3\pi r^2/2 $
Con riferimento alla fig2 abbiamo che, allorche' la circonferenza rotola
senza strisciare sulla retta,lo spostamento CC'=OO' e' uguale all'arco PO' essendo
P la nuova posizione occupata da O nel rotolamento.Se dunque assumiamo come parametro
t l'angolo PC'O',si ha:
OH=OO'-HO'=rt-r*sint;HP=O'R=O'C'-RC'=r-r*cost;
Pertanto le equazioni parametriche del luogo di P sono:
X=r(t-sint),Y=r(1-cost) ed e' chiamato cicloide
(la letteratura su cardioide,cicloide e curve affini e' a dir poco sterminata).
L'area limitata dalla cicloide e dalla retta (asse x nel nostro caso) e':
$ B=\int_\gamma ydx=r^2\int_0^{2 \pi} (1-cost)^2dt=3 \pi r^2 $
Come si vede e' B=2*A.

OliForum Matematico

Curva Podaria

Curva Podaria