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Problema: con quanti zeri può terminare il numero $ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n $, al variare di $ n $ in $ \mathbb{N} $?

Il problema arriva dritto dalle Olimpiadi Matematiche di San Pietroburgo del 1997.

non so fare tali problemi e pertanto chiedo: è un problema equivalente trovare il massimo intero x tale che $ $1+2^n+3^n+4^n = k 10^x \qquad \forall k \in N$ $??

ma questo come si fa? trattandosi di insiemi discreti nn ha senso annullare un ipotetica $ $\frac{dx}{dn}$ $

Non è affatto detto che i due problemi siano equivalenti, o che comunque il secondo fornisca un metodo per risolvere il primo: il massimo da te indicato potrebbe benissimo non esistere! In linea di principio, tuttavia, non è detto neppure il contrario. Che forse la parte più difficile del lavoro del problem solver è intuire quale possa essere la verità, e muoverglisi incontro... Certo l'idea delle derivate è folle, come tu stesso non hai mancato di osservare! E questo è tutto quel che posso dirti: sai, non amo dare suggerimenti! Dunque buon lavoro...

P.S.: sostanzialmente, il problema chiede di descrivere quante siano le possibili configurazioni di zeri in coda con cui $ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n $ può terminare, nell'ipotesi che $ n $ sia un intero non negativo. Spero che così riformulato risulti più chiaro...

giusto, bisogna trovare un x=f(n)...
ma se un numero n termina con x zeri significa che $ 10^x | n $, si può usare questa cosa?

Sì, hexen, la base da cui partire è tutta lì, esattamente...

sia $ s(n)=1^n+2^n+3^n+4^n $

per $ n \ge 3 $ si ha
$ [tex] $2^n \equiv 4^n \equiv 0 (mod [/tex]
$ [tex] $3^{2k} \equiv 1 (mod [/tex] e $ [tex] $3^{2k+1} \equiv 3 (mod [/tex], con $ k \in \mathbb N $

allora $ [tex] $s(2k) \equiv 2 (mod [/tex], e $ [tex] $s(2k+1) \equiv 4 (mod [/tex].

quindi $ 2^3\nmid s(n) \rightarrow 10^3 \nmid s(n) $ per $ n\ge 3 $

calcolo diretto dei primi valori

$ s(1)=10 $
$ s(2)=30 $
$ s(3)=100 $
$ s(4)=354 $


da cui posso concludere che

$ 10^3 \nmid s(n) \forall n \in \mathbb N $
$ \exists n \in \mathbb N:\ 10^2 \mid s(n) $
$ \exists n \in \mathbb N:\ 10 \mid s(n) \land 10^2 \nmid s(n) $
$ \exists n \in \mathbb N:\ 10 \nmid s(n) $

e con questi esaurisco i casi possibili ^^

Naturalmente perfetto, K.