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Problema: dimostrare che l'equazione $ x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = xyzt $ possiede infinite soluzioni in numeri interi.

$ a_n=(2,2,z_n,z_{n+1}) $

dove $ z_1=2 $ e $ z_{n+1}=2z_n+\sqrt {3z_n^2-8} $

in verità io vi dico, $ a_n $ è soluzione della diofantea per ogni $ n \in \mathbb N $

$ (2,2,t,2t+\sqrt {3t^2-8}) $ soddisfa la mia diofantea per ogni t, verifica diretta, contare.

quindi $ a_n $ soddisfa per ogni $ n \in \mathbb N $, mi basta mostrare che $ \{z_n\}_n $ è una successione a valori in $ \mathbb N $. Poi essendo $ \{z_n\}_n $ banalmente crescente, avrei infinite soluzioni intere alla diofantea, che era appunto la mia ipotesi.

$ z_1=2 \in \mathbb N $, sono felice. $ 3z_1^2-8=2^2 $, base d'induzione.

non mi sento pronto a TeXare anche l'induzione su $ 3z_n^2-8=k^2 \rightarrow 3z_{n+1}^2-8=h^2 $. il mio karma è abbattuto da ore di sforzi ed apprendimento forzato, quindi domani.

Sì, d'accordo, è ineccepibile! Del resto, non è dissimile dalla mia, con l'unica differenza ch'io mi ero limitato a ridurre la diofantea di partenza all'equazione generalizzata di Pell $ 3v^2 - u^2 = 8 $; dimostrare che questa è banalmente risolta per $ u = v = 2 $; dedurre che la stessa possiede infinite soluzioni, sulla base della teoria generale che appunto riguarda questa specialissima classe di equazioni.

E se invece mi limitassi a dire che esisterebbero infinite soluzioni per x,y,t,z pari (dopo opportuna banale dimostrazione) sarebbe troppo poco?

Non mi è chiaro cosa intendi, peppeporc! Prova a spiegarti meglio, e poi vedremo...

La mia forse era una domanda da profano, ma intendevo che x,y,z,t risultano essere tutti pari per soddisfare l'equazione. Una volta giunto a questo in che modo posso continuare a dimostrare che ci sono infinite soluzioni per x,y,t,z pari?

peppeporc ha scritto:La mia forse era una domanda da profano, ma intendevo che x,y,z,t risultano essere tutti pari per soddisfare l'equazione.

Sì, vero!

peppeporc ha scritto:Una volta giunto a questo in che modo posso continuare a dimostrare che ci sono infinite soluzioni per x,y,t,z pari?

Eh, boooh... Questo devi dircelo tu! In linea di principio, le soluzioni di una data equazione possono essere caratterizzate in vario modo, specificandone tipicamente alcune proprietà: nel nostro caso, ad esempio, tu hai trovato che i valori interi delle incognite debbono esser tutti necessariamente pari. Ma non sempre questo è utile per ricavare effettivamente se esistano e quali siano appunto le soluzioni...