funzione logaritmo
Inviato: 16 ago 2005, 13:58
chi ha voglia di fare una bella lezioncina sui logaritmi qui sotto??? 
insomma, l'argomento è tutt'altro che improbo! quindi...
siano dati $ a,b \in \mathbb{R}^+ $, con $ a \neq 1 $: si definisce $ \log_ab $ l'unico reale $ x $ tale che $ a^x = b $.
(immagino parliate di logaritmi reali, quelli complessi sono altro discorso
).direttamente dalla definizione, seguono le seguenti identità, valide per opportune variabili (...):
(a) $ \log_a 1 = 0 $;
(b) $ \log_a a = 1 $;
(c) $ \displaystyle\log_a \frac{1}{a} = -1 $;
dalla definizione, seguono alcune proprietà (nota: dove non è specificato, s'intende che i logaritmi nella stessa espressione siano nella stessa base), valide per ogni $ a,b \in \mathbb{R}^+ $, che vi inviterei a provare da voi:
(i) $ \log ab = \log a + \log b $;
(ii) $ \log (a^b) = b\cdot\log a $;
(iii) $ \log_b c = \displaystyle{\frac{\log_a c}{\log_a b}} $.
corollari "simpatici" e comodi da ricordarsi:
(iv) $ \log \displaystyle{\frac{a}{b}} = \log a - \log b $;
(v) $ \left(\log_a b\right) \cdot \left(\log_b a\right) = 1 $.
per cominciare a parlare di cose un po' più "grafiche"...
il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale; funzioni inverse di funzioni cresecenti sono crescenti, inverse di decrescenti sono decrescenti (lemma da provarsi).
dunque $ log_a x $, vista come funzione di $ x $, è crescente per $ a>1 $ e decrescente per $ a<1 $. da qui seguono alcune simpatiche cose che fregano sempre, quando si trattano le disequazioni logaritmiche (a cui basta però stare attenti).
inoltre, la funzione logaritmo è concava (in ogni base), quindi soddisfa la disuguaglianza di convessità: $ \lambda \log x + \mu \log y \le \log \left( \lambda x + \mu y\right) $ per ogni $ x,y $ nel dominio, e per ogni $ \lambda, \mu $ reali non-negativi tali che $ \lambda+\mu = 1 $.
basi carine: di solito si prendono i logaritmi in base $ e $ (ricordiamo, $ \displaystyle e = \lim_{n\rightarrow+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n $, ed $ e \sim 2,71828182845\dots $), e si indica con $ \ln x $, per il fatto che in analisi torna molto comodo, e anche in teoria dei numeri (per quanto possa sembrare strano).
alcune volte, poi, convenzionalmente, si scrive $ \Log x $ (o anche semplicemente $ \log x $) per indicare $ \log_{10} x $.
queste ultime convenzioni non sono però universali: è quindi opportuno usare $ \ln x $ per indicare il logaritmo naturale, e specificare la base (o le convenzioni che si applicano) altrimenti...
per chi ne vuole sapere di più (spigolature e non):
- si dice che "il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza", nel senso che $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $ (da cui segue $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 $, $ \forall \alpha > 0 $).
- la derivata del logaritmo (che è funzione inversa di una funzione derivabile, quindi essa stessa derivabile) è $ \displaystyle\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $, e si hanno un po' di consueguenze carine: l'area sottesa tra l'asse $ x $, la retta $ x = 1 $, l'"iperbole equilatera riferita agli asintoti" (nome pomposo per la funzione $ \displaystyle y = \frac{1}{x} $ nel suo opportuno dominio) e la retta $ x = t $ è $ \ln t $ (in particolare, per $ t = e $ è esattamente $ 1 $).
- la derivata seconda del logaritmo è $ \displaystyle\frac{d^2}{dx^2}\ln x = -\frac{1}{x^2} $, quindi il logaritmo è una funzione ovunque concava nel suo dominio (vedi sopra).
- per concludere, un "piccolo", "innocuo" teorema di teoria dei numeri, detto non a caso il teorema dei numeri primi: sia $ \pi(n) $ il numero dei primi $ p\le n $, allora $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{\pi(n)\cdot\ln n}{n} = 1 $.
se qualcuno vuole aggiungere/chiedere/sottrarre, qualcosa, ben venga
