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Sia $ n \geq 1 $ un intero. Diciamo che un quadrato è $ n $-divisibile se è possibile piastrellarlo con $ n $ quadrati, non necessariamente delle stesse dimensioni.
Per quali interi $ n \geq 1 $ il quadrato è $ n $-divisibile?

Il problema e' un classico. L'ha affrontato anche Martin Gardner in un vecchio (anni 80) articolo della Scientific American, in inglese il problema va sotto il nome di "squaring the square" ovvero "quadrare il quadrato". La risoluzione non e' poi tanto banale e si presta a varie soluzioni, si puo' affrontare con tecniche algebriche od anche con la teoria dei grafi (che, a mio parer di combinatorialista, e' la piu' elegante). Sotto a chi tocca!

Se abbiamo n quadratini possiamo crearne n+3 (basta dividere 1 quadrato esistente in 4). Visto che possiamo creare le configurazioni con 6,7 e 8 possiamo creare anche qualsiasi n>8.


Quindi le soluzioni sono 1, 4 e n>5.

Nel problema di cui parla Catraga si chiedeva che i lati dei tasselli quadrati fossero tutti di lunghezze diverse. Ho letto l'articolo di Gardner e mi era piaciuto molto.

Nel problema di Paoloca i tasselli possono essere anche tutti uguali.

Scusa Paoloca... puoi spiegarmi meglio come hai ottenuto la soluzione?

Puoi creare 6, 7 e 8 e, dato un generico n, anche n+3.


Quindi da 6 puoi creare 9, 12, .. (ripeto, basta dividere in 4 un quadratino della configurazione precedente) da 7 fai 10, 13, ... e da 8: 11, 14, ..insomma tutti i naturali.

Mi era sfuggito il fatto che potessere essere anche tutti di lato uguale... allora il problema si semplifica di molto...

Paoloca, io penso che mark86 fosse perplesso sul modo in cui hai escluso i casi n=2,3,5. Hai spiegato come ottenere gli altri n, ma di questi 3 non hai detto nulla.

mmmh, ok..

caso 2) per non lasciare un pezzo "a L" un quadrato interno deve essere alto almeno quanto l'originale. Ma l'unico modo per cui sia quadrato è che sia anche largo quanto l'originale: assurdo.

caso 3) Ragionamento simile, per mettere 2 quadratini e lasciare uno spazio libero non a scala e tutto da una parte questi devono essere uguali e sovrapposti di lato = l/2. Ma allora il pezzo rimanente è un rettangolo.

caso 5) Prima o poi ci si trova sempre a dover dividere un rettangolo con un lato il doppio dell'altro in 3 oppure un quadrato in 2. E non si può.


Anyway non credo che mark si riferisse a ciò..