OliForum Matematico

Ciao. Come forse sapete, ieri sera a Siena si è corso il Palio. La Torre ha vinto, interrompendo un digiuno di 44 anni e scrollandosi di dosso la scomoda cuffia della "nonna", rifilandola alla Civetta.

Ai torraioli dedico questo problema.

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Ci sono 17 contrade. Ogni anno si corrono due Palii, uno a luglio e uno ad agosto. Ad un Palio partecipano 10 contrade: di diritto le 7 contrade che non hanno partecipato l'anno precedente, più 3 altre contrade estratte a sorte tra le 10 che hanno partecipato l'anno precedente (si noti bene: non il Palio precedente; luglio va con luglio ed agosto va con agosto).

Supponiamo che non succedano cose strane (non vi siano irregolarità, contrade squalificate, Palii straordinari, Palii non corsi, ecc...) e che la vittoria sia un'estrazione perfettamente casuale tra le 10 che partecipano e infine che tutte le estrazioni siano indipendenti tra loro (tutte ipotesi che, chi conosce almeno un po' il Palio, sa essere ben lontane dal vero...).

Sapendo che una contrada non ha corso a luglio dell'anno 0, e ad agosto dell'anno 0 ha corso e vinto, calcolare la probabilità che non vinca nessun Palio fino a luglio dell'anno 44 e vinca il Palio di agosto dell'anno 44.

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Ciao. M.

[Ho involontariamente piallato il messaggio originario. Me ne scuso con l'autore e con tutti. M.]

p(part. a palio n) = 1-4/7+(4/7)^2-…+(-1)^n*(4/7)^n

Se fino a qui non ci sono errori e tenendo conto che p(n) è asintotica a ½...

No. La formula per p(n) non è giusta, ma anche se lo fosse, quella roba non tende certo a 1/2...

EDIT: era precisazione al post precedente.

Che idiota!! Invece che postare un nuovo messaggio ho modificato il messaggio originale, rovinandolo. Chiedo scusa a Paoloca per il danno (spero che abbia ancora una copia del messaggio originario salvata).

Comunque l'obiezione alla sua soluzione è ancora lì: la sua formula per p(n) non è giusta e non tende a 1/2.

Fa niente...anzi, forse non te ne eri ancora accorto ma avevo già editato il mio post perchè conteneva uno stupido errore di distrazione (avevo considerato p di essere "ripescati" = 3/7 invece di 3/10).


Ci riprovo..

ho provato a dedicargli un po' di tempo..ma credo d'avere fatto solamente errori nei calcolacci (era tanto che non facevo calcoli così):

sia $ P(a_{44}) $ la possibilità di partecipare al 44 esimo pallio di Agosto.
sia $ P(a_i) $ la possibilità di partecipare all'i-esimo pallio di Agosto.
sia $ p(b_i) $ la possibilità di partecipare all'i-esimo pallio di Luglio.
sia $ P(c_i_k) $ ove k=a oppure k=b la possibilità di non vincere l'i-esimo pallio ad Agosto (k=a) o a Luglio (k=b).

La probabilità richiesta sarà: $ p(d)= (\prod p(c_i)) \frac{1}{10} p(a_{44}) $ per opportuni indici di p(c_i)

$ p(a_0)=1 $ e (con un po' di calcolini) $ p(a_n+1)= - \frac{7}{10}p(a_n) +1 $
ovvero (per una nota formula..vedi maestro Gobbino) : $ p(a_n) = (- \frac{7}{10})^n+ \frac{(- \frac{7}{10})^n-1}{- \frac{7}{10}-1} $ = $ \frac{(- \frac{7}{10})^{n+1}-1}{- \frac{7}{10}-1} $

analogamente per p(b_n)
$ P(b_0)=0 $ e $ p(b_n+1)= - \frac{7}{10}p(b_n) +1 $
ovvero: $ P(b_n)= \frac{(- \frac{7}{10})^n -1}{- \frac{7}{10}-1} $

posso ora sapere la probabilità che non vinca un pallio (ovviamente non nell'anno 0 per il quale si sa già per ipotesi).

Ad Agosto:
$ P(c_i_a)=1-p(a_i)+ \frac{9}{10} p(a_i)=1- \frac{1}{10} p(a_i) $ ovvero:
$ P(c_n_a)=1- \frac{1}{10}[\frac{(- \frac{7}{10})^{n+1}-1}{- \frac{7}{10}-1}] $

e analogamente a Luglio:

$ P(c_n_b)=1- \frac{1}{10}[\frac{(- \frac{7}{10})^{n}-1}{- \frac{7}{10}-1}] $

ovvero $ P(d)= [ \prod_{n=1}^{43} (\frac{16+(- \frac{7}{10})^{n+1}}{17})]* [ \prod_{n=1}^{44} (\frac{16+(- \frac{7}{10})^{n}}{17})]* \frac{1}{10}* \frac{(- \frac{7}{10})^{45}-1}{- \frac{7}{10}-1} $


ovviamente Marco non vorrà questo mostro quà..quindi temo d'avere sbagliato qualcosa..

Sì, i numeri sono orribili (e non è un caso che mi sia "bruciato" un problema originale sul Forum) e mi sembra che il risultato di EC88 sia giusto (non ho, confesso, controllato ogni minuzia, ma l'idea base era giusta). Solo un consiglio: ci sono tante lettere, quindi, scegliedo la notazione, è una buona idea non usare quattro volte la stessa lettera per quattro concetti simili, ma diversi. Non si scandalizza nessuno se una probabilità la chiami $ q, r, s, \pi, \dots $.

Voglio sottolineare un passaggio che è quasi meritevole di essere Glossarizzato:

enomis_costa88 ha scritto:$ p(a_0)=1 $ e (con un po' di calcolini) $ p(a_n+1)= - \frac{7}{10}p(a_n) +1 $
ovvero (per una nota formula..vedi maestro Gobbino) : $ p(a_n) = (- \frac{7}{10})^n+ \frac{(- \frac{7}{10})^n-1}{- \frac{7}{10}-1} $ = $ \frac{(- \frac{7}{10})^{n+1}-1}{- \frac{7}{10}-1} $

Intanto (Enomis non lo scrive, ma penso che lo abbia chiaro) si ha la relazione facile (la cui idea era anche nel post di Paoloca, da me sapientemente piallato...)

(**) $ $ p\left(a_{i+1}\right) = \left[ 1 - p\left(a_i\right) \right] + \frac{3}{10} p\left(a_i\right) $

[questa si dimostra ragionando: se la contrada in questione non ha corso l'anno precedente, allora parteciperà con probabilità 1, se invece ha corso, parteciperà con probabilità 3/10]

Se uno non si ricorda la formula gobbiniana, come se la sfanga? Intanto, anche se non sappiamo nulla di Analisi e di calcolo infinitesimale, ci si può chiedere se c'è una "probabilità d'equilibrio". E' abbastanza intutivo che in questo processo di estrazioni casuali, alla lunga ci aspettiamo una sorta di simmetria tra le varie contrade, in quanto la memoria dell'asimmetria iniziale, data dal fatto di avere corso l'anno 0 oppure no, viene cancellata progressivamente dalle estrazioni successive; quindi ci attenderemmo un valore a tendere pari a 10/17 (ossia tanto quanto un'estrazione semplice, con 10 casi favorevoli su 17).

Per trovare in modo rigoroso quella che ho chiamato la "p.d'equilibrio", si prende la (**), si uguagliano tutti i $ p(a_i) $ che compaiono ad un valore comune (lo indico con $ \bar p $) e si risolve l'equazione in $ \bar p $. [in gergo tecnico si dice che si cercano le soluzioni stazionarie...]

Se lo fate, trovate proprio $ \bar p = 10/17 $, come ci aspettavamo. Attenzione!!!! Questo NON significa che abbiamo dimostrato che la successione delle probabilità tende a $ \bar p $: sappiamo solo che, usando come seme per la ricorrenza $ \bar p $, non ci si schioda da lì, ossia che è di equilibrio. Se poi l'equilibrio è instabile, stabile, o asintoticamente stabile, ancora non lo sappiamo.

Bene. Ora che ho il mio valore cardine, che diavolo me ne faccio? Dato che abbiamo il forte sospetto che la probabilità vada verso 10/17, un'idea è vedere la successione delle differenze con il valore bersaglio; definiamo quindi

$ $ q\left(a_i\right) = p\left(a_i\right) - \frac{10}{17} $,

frulliamo con (**) e troviamo

(++) $ $ q\left(a_{i+1}\right) = - \frac{7}{10} q\left(a_i\right) $

Questa è molto più carina della (**) e si riconosce a occhio come la definizione per ricorrenza di una progressione geometrica:

$ $ q\left(a_i\right) = \left( - \frac{7}{10} \right)^i q\left( a_0 \right) $

e il seme $ q\left( a_0 \right) $ è noto, ed è dato dall'aver corso oppure no nell'anno 0.

La ragione della progressione è in valore assoluto più piccola di 1, quindi tende a 0, quindi le probabilità tendono effettivamente al valore 10/17, come ci aspettavamo fin dall'inizio. Risostituendo per ricavare le $ p $ a partire dalle $ q $, si ritrova - salvo errori - la formula enomica.

Ciao. M.