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Show that the equation $ \displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz $ has infinitely many solutions in positive integers.

Traduzione:

Dimostrare che l'equazione $ \displaystyle x^2+y^2+z^2 = 3xyz $ ha infinite soluzioni negli interi positivi.

Bye,
#Poliwhirl#

Posto $ z = 2 $, è sufficiente che sia $ 8y^2 -(x-3y)^2 = 4 $, ovvero $ 8u^2 - v^2 = 4 $, con $ u = y $ e $ v = x - 3y $. Quest'ultima è un'equazione generalizzata di Pell, che ammette la soluzione banale $ u = 1 $ e $ v = 2 $. E allora, in base alla teoria che riguarda questa specialissima classe di equazioni (parole già usate altrove...), questa stessa ne possiede infinite. Da cui la tesi, q.e.d.