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Four number theorem: siano $ a, b, c, d \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ ab = cd $. Provare ch'esistono allora quattro altri interi positivi $ p, q, r $ ed $ s $ tali che $ a = pq $, $ b = rs $, $ c = pr $ e $ d = sq $.

Tutte le variabili introdotte sono interi positivi.

Per l'uguaglianza $ ab=cd $ per forza avremo che "un pò" dei fattori primi di $ a $ sono da una parte e un pò" dall'altra (eventualmente da una parte l'insieme può essere vuoto, in tal caso avremo solo il fattore 1). La stessa cosa vale per $ b $ quindi possiamo porre:
$ c=a'b'k $
$ d=a''b''j $
con
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
avremo che $ kj=1 $, quindi $ k=j=1 $.
Quindi si avrà
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
$ c=a'b' $
$ d=a''b'' $

Boll ha scritto:Poichè $ a,b,c,d $ sono tutti distinti, per forza avremo che "un pò" dei fattori primi di $ a $ sono da una parte e un pò" dall'altra (eventualmente da una parte l'insieme può essere vuoto, in tal caso avremo solo il fattore 1).

A parte l'estrema incompetenza grammaticale... Già l'esordio non va bene! Dove sta mai scritto che $ a, b, c, d $ debbano essere a due a due distinti? E poi ti pare quello il modo di esprimersi? "Un po' di qua, un po' di là"... Ma ti pare forse un problema di fisica?! Baaah... Su, Bollazzo, impegnati, che diamine! Lo sappiamo tutti e due che puoi fare di molto meglio...

Vediamo se scritto così ti aggrada di più.

Tutte le variabili introdotte sono interi positivi. Siano, in coerenza con il Th Fondamentale dell'Aritmetica $ a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i} $
$ b=\prod_{i=1}^{j}r_i^{f_i} $. Siano ora $ A_c=\{p^{e_m}: e_m=\max\{i: p_i^{i}|c\}\}+\{1\} $, $ B_c=\{q^{f_m}: f_m=\max\{i: q_i^{i}|c\}\}+\{1\} $,$ A_d=\{p^{e_n}: e_n=\max\{i: p_i^{i}|d\}\}+\{1\} $,$ B_d=\{p^{f_n}: f_n=\max\{i: q_i^{i}|d\}\}+\{1\} $. Per costruzione $ c=\prod_{i\in A_c\cup B_c}i*k $, $ d=\prod_{i\in A_b\cup B_b}i*j $, ma $ ab=\prod_{i\in B_c\cup B_d\cup A_c\cup A_d}i $ quindi $ kj=1 $ e $ k=j=1 $ Concludendo $ a=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in A_d} i $, $ b=\prod_{i\in B_c}i*\prod_{i\in B_d} i $, $ c=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in B_c} i $, $ d=\prod_{i\in A_d}i*\prod_{i\in B_d} i $

Boll ha scritto:[...] in coerenza con il Th Fondamentale dell'Aritmetica $ a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i} $ e $ b=\prod_{i=1}^{j}r_i^{f_i} $.

Siano ora $ A_c=\{p^{e_m}: e_m=\max\{i: p_i^{i}|c\}\}+\{1\} $ e $ B_c=\{q^{f_m}: f_m=\max\{i: q_i^{i}|c\}\}+\{1\} $ [...]

A parte i tuoi ripetuti pasticci notazionali (btw, notare come $ r_i $ muti magicamente in $ q_i $ nel volgere di meno d'un rigo), sai che c'è di bello e curioso? Che il teorema dei quattro numeri viene giust'appunto utilizzato per dimostrare il teorema fondamentale dell'Aritmetica (vedi Erdos-Suranyi, "Topics in the Theory of Number", libro ecceziUnalO, imho). Sicché rilancio...

Problema: dimostrare il teorema dei quattro numeri, senza sfruttare l'unicità della fattorizzazione in primi.