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Problema: determinare tutte le coppie $ (n,p) $ di interi positivi tali che $ p $ è primo e $ p^{n-1} $ divide $ n! $.

Sia $ n = p^k + h $ dove $ k,h \in \mathbb{N} $ e $ p^k $ e' la piu' grande potenza di p minore o uguale a n.

Quindi dobbiamo cercare i p,k,h per i quali $ p^{p^k +h -1} \mid (p^k+h)! = p^k! \cdot (p^k+h)(p^k+h-1)\cdot...\cdot(p^k+1) $.

Sia $ s $ il massimo intero per cui $ p^s \mid (p^k+h)(p^k+h-1)\cdot...\cdot(p^k+1) $. Si nota che in generale $ s \leq h $ perche' non tutti i fattori del prodotto sono multipli di p e nessuno e' una sua potenza. L'uguaglianza vale quando entrambi i membri sono uguali a zero.

Per l'identita' di Legendre-De Polignac (guarda chi si ri-vede...) il massimo esponente $ e $ tale che $ p^e \mid p^k! $ e' $ \displaystyle{\sum_{i=1}^{\lfloor\\lg_p{p^k}\rfloor} \lfloor\frac{p^k}{p^i}\rfloor = \sum_{i=1}^{k} (p^{k-i}) = \sum_{i=0}^{k-1} p^i = \frac{p^k-1}{p-1}} $.

Quindi la condizione del problema si puo' riscrivere sugli esponenti di p:
$ p^k+h-1 \leq \frac{p^k-1}{p-1} + s $ ovvero $ \frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} \leq s - h $.
Visto che il primo membro e' nullo o positivo ed il secondo, per quanto affermato prima, invece e' non positivo, la disuguaglianza puo' valere solo se $ s = h = 0 $ e quindi diventare $ \frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} = 0 $, che si verifica solo per $ p = 2 $.

Quindi le soluzioni sono della forma $ (2^k,2) $ con $ k\in\mathbb{N} $.

[edit: Corretta un'infinita' di sviste segnalate da Hit]

Loth ha scritto:[...] Si nota che in generale $ s < h $, perche' non tutti i fattori del prodotto sono multipli di p e nessuno e' una sua potenza.

Dunque $ s-h < 0 $. Senonché, poco oltre...

Loth ha scritto:Quindi la condizione del problema si puo' riscrivere sugli esponenti di p: [...] $ \displaystyle\frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} \leq s - h $. Visto che il primo membro e' positivo ed il secondo [...] e' non positivo [...]

Alt! Il primo membro è semmai non negativo. Il secondo, viceversa, è sempre (strettamente) minore di zero. Dunque la condizione indicata è impossibile. Perciò dimmi... Cosa c'è che non torna, Loth?

Hai ragione, ho un po' pasticciato, edito.

Loth ha scritto:Sia $ n = p^k + h $ dove k e h sono interi positivi [...] Sia $ s $ il massimo esponente per cui $ p^k \mid (p^k+h)(p^k+h-1)\cdot...\cdot(p^k+1) $. Si nota che in generale $ s \leq h $ [...]

Eh, 'petta! Punto primo, rivedrei un attimo le notazioni! Non puoi dire che "$ s $ è il massimo esponente (intero) tale che $ p^k $ blahblahblah", semplicemente perché $ k $ è il nome di una variabile già in uso. In secondo luogo, poiché $ h, k\in\mathbb{N}_0 $, è effettivamente vero che $ s < h $. Al che di certo tu mi contesterai che, se $ s < h $, allora a maggior ragione $ s \leq h $. Beh, non oso dubitarlo! Eppure il fatto che sia $ s-h < 0 $ ci suggerisce che qualcosa, nelle tue conclusioni, proprio non funziona, riportandoci di fatto alle obiezioni che già ti ho mosso nell'intervento precedente.

Loth ha scritto: [...] ovvero $ \displaystyle\frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} \leq s - h $. Visto che il primo membro e' nullo o positivo ed il secondo, per quanto affermato prima, invece e' non positivo, la disuguaglianza puo' valere solo se $ s = h = 0 $ [...]

Capisci?! Il secondo membro (in realtà) è negativo, sebbene non ne sia cosciente, e dunque l'uguaglianza è impossibile! Nota inoltre che, anche là dove non avessi sbagliato altrimenti, la condizione da doversi imporre sarebbe stata casomai $ s = h $, non certo $ s = h = 0 $, visto che (per costruzione) $ h > 0 $. Ti ritrovi?!

HiTLeuLeR ha scritto:Eh, 'petta! Punto primo, rivedrei un attimo le notazioni! Non puoi dire che "$ s $ è il massimo esponente (intero) tale che $ p^k $ blahblahblah", semplicemente perché $ k $ è il nome di una variabile già in uso.

Hai ragione, chiedo venia, intendevo $ p^s $: nuovo typo, nuova editata.

Il resto delle magagne, se non sbaglio, risiedono in un problema di definizione delle variabili: il mio intento era di porre $ h \in \mathbb{N} $ e non "positivo" come ho scritto. In questo modo mi pare che si possa arrivare in fondo e dedurre che per verificare la disuguaglianza $ \displaystyle\frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} \leq s - h $ sia necessariamente $ s=h=0 $.
Adesso ci sono?

Loth ha scritto:[...] Il resto delle magagne, se non sbaglio, risiedono in un problema di definizione delle variabili: il mio intento era di porre $ h \in \mathbb{N} $ e non "positivo" come ho scritto. In questo modo mi pare che si possa arrivare in fondo e dedurre che per verificare la disuguaglianza $ \displaystyle\frac{(p^k - 1)(p-2)}{p-1} \leq s - h $ sia necessariamente $ s=h=0 $. [...]

Sì, adesso va bene tutto, eccetto il fatto che non ho ben chiaro come tu possa concludere che dev'essere $ s = h = 0 $. Ok, si vuole $ s-h = 0 $, e quindi $ s = h $. Ma come ti riesce di dedurre che l'uno o l'altro fra $ s $ e $ k $ dev'essere nullo, mh?

Tuttavia hai dimostrato che dev'essere a forza $ p = 2 $, e questo è già un buon risultato.

HiTLeuLeR ha scritto:Ma come ti riesce di dedurre che l'uno o l'altro fra $ s $ e $ k $ dev'essere nullo, mh?

Beh, insomma, quello e' il punto in cui ho un po' 'imbrogliato'
D'altra parte pero', se ammetti che, essendo $ h > 0 $, allora $ 0 < s < h $ l'affermazione regge:
- se $ h = 0 $, allora $ s = 0 $ e la disuguaglianza vale.
- se $ h > 0 $, alora $ s - h < 0 $ e quindi disuguaglianza falsa.

Loth, ho cancellato i tuoi due messaggi doppione ... ti prego però di farlo tu d'ora in avanti, visto che pare ti capiti spesso di scrivere un messaggio monco e poi un altro che ripete il primo e prosegue.

EvaristeG ha scritto:Loth, ho cancellato i tuoi due messaggi doppione ... ti prego però di farlo tu d'ora in avanti, visto che pare ti capiti spesso di scrivere un messaggio monco e poi un altro che ripete il primo e prosegue.

Scusami, ma sei troppo veloce! Stavo giusto editando, guarda gli orari

Loth ha scritto:[...] se ammetti che, essendo $ h > 0 $, allora $ 0 < s < h $ l'affermazione regge:
- se $ h = 0 $, allora $ s = 0 $ e la disuguaglianza vale.
- se $ h > 0 $, alora $ s - h < 0 $ e quindi disuguaglianza falsa.

Ok, ammetto che, se $ h > 0 $, allora a forza $ 0 \leq s < h $, il che (tuttavia) è leggermente diverso dall'indicar per vera la condizione $ 0 < s < h $. Ma a parte questo dettaglio, le tue conclusioni sono esatte e corretti i tuoi argomenti!