OliForum Matematico

[Spostato. M.]
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Il problema che segue è ripescato da un'altra sezione del forum (click), dove - credo! - non avrebbe avuto molto senso discuterne lo svolgimento! Ho scelto di riproporlo in "Matematica non elementare", perché nel risolverlo faccio impiego degli integrali, che rendono - ahime'... - inammissibile (u-uuuuuh...) l'idea di sdoganarlo - come invece avrei voluto! - dalle parti del forum di TdN.

ma_go ha scritto:Considera la successione $ a_0 = 1000! $, tale che $ a_{n+1} $ sia la somma delle cifre [NdH: decimali] di $ a_n $. Tale successione si stabilizza? se sì, a che numero?

enomis_costa ha scritto:Rilancio la successione di Ma_go: quanto vale a_3 e (bonus question) determinare un'insieme di 4 elementi in cui debba essere compreso a_2 (se ci riuscite determinatelo... io non ci sono riuscito ma ho trovato proprio un bell'insiemino).

Sia $ s_{10}(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{N} $ la funzione che ad ogni intero $ n > 0 $ fa corrispondere la somma delle cifre della sua rappresentazione posizionale in base $ 10 $. Se $ n $ è un naturale $ > 1 $, stanti l'identità di Legendre-De Polignac (click) e un paio di arcinote proprietà dei logaritmi, peraltro suggerite da ma_go, Marco e Boll dalle parti del glossario (click): $ \displaystyle s_{10}(n!) \leq 9 \cdot \left(\lfloor \log_{10}(n!)\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) = $ $ \displaystyle 9 \cdot \left(\left\lfloor \sum_{k=2}^n \log_{10}k\left\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) $.

Senonché $ \displaystyle\sum_{k=2}^n \log_{10}k \leq \int_2^{n+1} \log_{10}x\, dx = (n+1) \log_{10}(n+1) $ $ - (n-1)\log_{10}e - 2\log_{10} 2 $, e perciò $ s_{10}(n!) \leq 9 \cdot $ $ \displaystyle \left(\lfloor (n+1) \log_{10}(n+1) - (n-1)\log_{10}e - 2\log_{10} 2\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^t}\right\rfloor \right) $. Da qui (fatti due conti): $ a_1 = s_{10}((10^3)!) \leq 20880 $. E allora $ a_2 \leq 1 + 9 + 9 + 9 + 9 = 37 $, poiché, quand'anche $ a_1 $ avesse cinque cifre decimali, la somma delle due più significative sarebbe comunque $ \leq 10 $. Dunque a forza $ a_3 = 9 $, siccome $ s_{10}(a_2) \leq 11 $ e $ a_n \to 9 $, per $ n \to +\infty $, come già è stato osservato altrove (click). Ne segue banalmente $ a_2 \in \{9, 18, 27, 36\} $, e questo è quanto...

EDIT: riveduto e corretto su molteplice segnalazione di Marco.

HiTLeuLeR ha scritto:perché nel risolverlo faccio impiego degli integrali, che rendono - ahime'... - inammissibile (u-uuuuuh...) l'idea di sdoganarlo - come invece avrei voluto! - dalle parti del forum di TdN.

caro Hit vorrei farti notare un paio di fatti:

1) l'88 nel mio nick significa tra le altre cose che so pochissime cose di analisi (qualcosina, ma veramente poco, sui limiti e continuità-insomma quasi solo Bolzano-e definizione di derivata, convessita e concavita -che trallaltro non ho mai usato e quindi se dovessi usarle non mi verrebbero facilmente in mente- , Rolle e stop!)

2) io l'avrei postato in TDN..perchè se la mia soluzione fosse corretta allora usa solamente i logaritmi (e un paio di lemmini utili).

3)visto che ormai si è risposto alle domande volevo chiedere non si potrebbe determinare a_2 con certezza?

4)posto occultata la mia..(mi scuso con chi volesse risolverla ma il fatto che Hit abbia usato gli integrali mi fa dubitare del mio tentativo risolutivo-e poi l'occultare non mi pare interferisca con il lavoro altrui.)

Lemma 1:
se a è un'intero positivo a! \leq a^a
ovvero (a-a+1)(a-a+2)...(a-1)(a)\leq aaaaa...aaa
ove in entrembi i membri sono presenti a multipli (è banalmente vera se a>0 ovvero se sono definite le due funzioni a^a; a! (o^o è definito??)..by the way a \not = 0 e a>0 e ciò mi toglie un bel po' di problemi).

per l'andamento (crescienza) della funzione log_10 (b) so che: log_10 (a!)<log_10 (a^a).
imposto ora a=1000=10^3 so che:
log_10 (a!)< log_10 (10^3)^1000 ovvero il numero di cifre di a_0 è \leq [log_10 (10^3)^1000]+1 =[3000 log_10 (10)]+1=3001
se fossero tutti 9(che è il massimo valore consentito) avrei: a_1=27009 e quindi a_1\leq 27009. il max di a_2 è quando ho quattro 9 e un 1 ovvero a_2\leq 37 ma per la definizione della successione e per il criterio di congruenza (divisibilità in questo caso) mod 9 ho che a_2=9k e quindi a_2={9;18;27;36} da cui a_3 =9

Toh! Non c'è dubbio che in questo caso anche il tuo metodo funzioni, enomis. E di più ha il pregio non indifferente d'essere comprensibile ad un qualsivoglia olimpionico medio. Ma del resto... vabbè, vabbè... Sia come sia, mi pare una buona soluzione, certo adeguata al problema specificamente proposto.

Ok. La prova di Enomis dimostra, tra l'altro, che il thread va a tutti gli effetti in TdN.

In verità, nel problema di MaGo, il 1000! è fumo negli occhi. Rilanciamo:

Sia $ a_0 $ un qualunque numero nautrale positivo, e $ a_{n+1} $ sia la somma delle cifre [NdH: decimali] di $ a_n $. Tale successione si stabilizza? se sì, a che numero?

Vedi che questa domanda ha già una risposta

Marco rilanciando ha scritto:Sia $ a_0 $ un qualunque numero nautrale positivo, e $ a_{n+1} $ sia la somma delle cifre [NdH: decimali] di $ a_n $. Tale successione si stabilizza? se sì, a che numero?

Uhm, non penso sia un grosso rilancio...

La successione è strettamente decrescente fino a che non arriva ad una cifra e la congruenza modulo 9 non varia, quindi si stabilizza al resto di $ a_0 $ per $ 9 $.

Come corollario potremo dire che la somma delle cifre alla base $ b $ si stabilizza anch'essa, e si stabilizza al resto di $ a_0 $ per $ b-1 $, ma anche questo non è un gran rilancio, credo che il problema abbia detto tutto ciò che poteva dire, sempre che io non abbia scritto un mucchio di ca**ate...

Me stesso ha scritto:$ \displaystyle s_{10}(n!) \leq 9 \cdot \left(\lfloor \log_{10}(n!)\rfloor + 1 - \sum_{t=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{2^t}\right\rfloor \right) $ [...]

Curioso che nessuno abbia notato l'errore... Ma d'altra parte era sfuggito pure a me... Ebbene, nel contare gli zeri in coda al fattoriale di $ 1000 $, ho usato l'identità di Legendre-De Polignac per valutare il massimo esponente intero $ v $ tale che $ 2^v \mid 1000! $, quando invece avrei dovuto riferire lo stesso calcolo non certo al $ 2 $, bensì al $ 5 $... Vabbè, correggo subito! La sostanza delle conclusioni, fortunamente, non cambia.

Beh, se non ho sbagliato i conti, riesci anche a dimostrare che la cifra non nulla meno significativa è un 2. Quindi riesci a migliorare la stima di $ a_1 $ di 7. Uao!!

Purtroppo, di questo passo, non elimineremo mai il caso $ a_2=36 $. Credo si faccia prima a calcolare per esteso 1000! !

Mmmmh....

Stando al mio excel, il numero esatto di cifre di 1000! è 2568. Gli zeri di coda sono 249. restano 2319 cifre. Moltiplicato per 9 fa 20871, mentre la stima hitlesca è 20862.

Sembrerebbe che ci sia qualche altro errore...

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Ok. Stavolta l'errore c'è sul serio: l'integrale va esteso non fino a n, ma fino a n+1.

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E quindi la stima di Hit è, una volta corretto l'errore, sharp. Complimenti!

Ok. La migliore stima in commercio per $ a_1 $ quindi è 20864.

Essì, verillimo... La stima cambia di conseguenza! Aspe', vediamo...

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Salvo altri errori, siamo ancora attestati sui valori di prima...

Se può esservi utile 1000!=
402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629\
020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590\
997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418\
278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955\
735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820\
291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928\
090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025\
478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868\
170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566\
832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889\
679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736\
280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510\
907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967\
146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911\
903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299\
024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226\
143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781\
391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955\
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084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720\
559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900\
140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017\
860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519\
296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218\
940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278\
288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752\
344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701\
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742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700\
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000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Vabbè, allora, dato che ti sei preso la briga di scomodare i cannoni (Mathematica?), allora, facci anche il conto della somma della somme dell cifre, così non ne parliamo più.