Dentro una sfera di raggio R0 sono distribuite un gran numero di particelle,
ciascuna di massa m e carica q, in modo tale che il loro numero per
unit`a di volume sia lo stesso ovunque entro la sfera. All’istante iniziale,
si rimuovono i vincoli che tenevano ferme queste particelle e le si lascia
libere di muoversi sotto la sola azione delle mutue interazioni elettromagnetiche.
Si dimostri come all’aumentare del tempo la distribuzione
delle particelle rimanga uniforme all’interno di una sfera, e si calcoli la
velocit`a asintotica con cui aumenta il raggio R(t) di tale sfera.
Cariche in fuga
Grande Paoloca.... made in sns diciamo...2002?Ci avevo provato ma non so risolvere l'equazione differenziale per la velocità.
Per il primo punto possiamo considerare una superfice sferica di raggio r e notare che a causa della simmetria della forza e della distribuzione simmetrica delle cariche ogni elemento di questa superfice subisce la stessa forza radiale e quindi rimuovendo i vincoli sempre sferica resta la distribuzione
Per quanto riguarda il secondo punto l'idea iniziale era quella di considerare una carica a distanza $ R_0 $ (cioè nella parte più esterna della sfera) mentre tutte le altre concentrate nel centro in modo fisso. Così facendo dobbiamo calcolare la velocità con cui si allontana questa carica se sottoposta ad una forza del tipo $ \displaystyle F=k \frac {1}{d^2} $. si nota immediatamente che tale velocità tende a zero quando d-->inf... il problema è che c'è un'accelerazione variabile (dal momento che varia la forza...)illuminateci!!!![/tex]
Per il primo punto possiamo considerare una superfice sferica di raggio r e notare che a causa della simmetria della forza e della distribuzione simmetrica delle cariche ogni elemento di questa superfice subisce la stessa forza radiale e quindi rimuovendo i vincoli sempre sferica resta la distribuzione
Per quanto riguarda il secondo punto l'idea iniziale era quella di considerare una carica a distanza $ R_0 $ (cioè nella parte più esterna della sfera) mentre tutte le altre concentrate nel centro in modo fisso. Così facendo dobbiamo calcolare la velocità con cui si allontana questa carica se sottoposta ad una forza del tipo $ \displaystyle F=k \frac {1}{d^2} $. si nota immediatamente che tale velocità tende a zero quando d-->inf... il problema è che c'è un'accelerazione variabile (dal momento che varia la forza...)illuminateci!!!![/tex]
Mi chiedo una piccola cosa OT: è onesto che per risolvere degli es. di fisica, alla sns chiedano di conoscere le equazioni differenziali o almeno in maniera elementare ed intuitiva... magari se si tratta di eq. diff. a variabili separabili... ma ho visto anche cose di secondo ordine... non sapendo comunque cosa viene fuori in questo esercizio....
Fulsere vere candidi tibi soles (Catullo)
ciao!... torno appena dal viaggio di ritorno delle vacanze... anche senza parlare di equazioni differenziali, credo si possa calcolare il lavoro che quella forza compirebbe in uno spostamento da ro all'infinito (un integrale)... Poi utilizzi il teorema dell'energia cinetica e trovi la velocità all'infinito...
Questo credo sia un modo per 'risolvere' l'equazione senza utilizzare (almeno consapevolmente) concetti estranei a quelli che conosco..
Lo stesso metodo credo si possa applicare per un qualsiasi forza = f(x^n) con f una qualsiasi funzione...
Questo credo sia un modo per 'risolvere' l'equazione senza utilizzare (almeno consapevolmente) concetti estranei a quelli che conosco..
Lo stesso metodo credo si possa applicare per un qualsiasi forza = f(x^n) con f una qualsiasi funzione...
Questo l'avevo fatto un po' di tempo fa...
Supponiamo che le cariche nel moto radiale non si scavalchino. La carica contenuta dentro una sfera di raggio r(t) è costante: $ Q'=Q(\frac{r_0}{R} )^3 $.
La forza radiale su una carica q al raggio r è $ F=-\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r^2} $.
Integrando la forza e usando la relazione $ F=-\frac{dU}{dr} $ si ottiene
$ U=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r} $
La velocità asintotica si ottiene uguagliando energia potenziale a energia cinetica (si nota che è massima per il guscio più esterno).
L'equazione del moto è $ m\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r^2} $.
Per mantenere la sfera omogenea le cariche devono muoversi con una legge oraria del tipo: $ r(t)=r(0)l(t) $ dove l(t) non dipende da r(0).
Si sostituisce r(t) nell'equazione del moto e si vede che l non dipende da r(0)$ \rightarrow $ la nuvola si dilata in modo omogeo.
Supponiamo che le cariche nel moto radiale non si scavalchino. La carica contenuta dentro una sfera di raggio r(t) è costante: $ Q'=Q(\frac{r_0}{R} )^3 $.
La forza radiale su una carica q al raggio r è $ F=-\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r^2} $.
Integrando la forza e usando la relazione $ F=-\frac{dU}{dr} $ si ottiene
$ U=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r} $
La velocità asintotica si ottiene uguagliando energia potenziale a energia cinetica (si nota che è massima per il guscio più esterno).
L'equazione del moto è $ m\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{R})^3\frac{1}{r^2} $.
Per mantenere la sfera omogenea le cariche devono muoversi con una legge oraria del tipo: $ r(t)=r(0)l(t) $ dove l(t) non dipende da r(0).
Si sostituisce r(t) nell'equazione del moto e si vede che l non dipende da r(0)$ \rightarrow $ la nuvola si dilata in modo omogeo.
$ \ddot{r}=\frac{k}{r^2} $
$ k=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{mR})^3 $
Moltiplicando per $ \dot{r} $ e integrando si ottiene la conservazione dell'energia...
$ (\frac{dr}{dt})^2=C+\frac{2k}{r} $ Con C che dipende dalla posizione iniziale della carica.
$ \frac{dr}{\sqrt{C+\frac{2k}{r}}}=dt $
Integrando questa (se ne hai voglia...) ottieni l'equazione per R(t).
$ k=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{r_0}{mR})^3 $
Moltiplicando per $ \dot{r} $ e integrando si ottiene la conservazione dell'energia...
$ (\frac{dr}{dt})^2=C+\frac{2k}{r} $ Con C che dipende dalla posizione iniziale della carica.
$ \frac{dr}{\sqrt{C+\frac{2k}{r}}}=dt $
Integrando questa (se ne hai voglia...) ottieni l'equazione per R(t).