OliForum Matematico

Un saluto a tutto il forum, è il mio primo messaggio anche se da quando sono negli Stati Uniti lurko abbastanza il forum. Mi piacerebbe molto sottoporvi un esercizio molto interessante nella cui risoluzione sto trovando non pochi problemi "L' insieme GLn delle matrici nxn invertibili è aperto in R^(nxn)." Pensavo di definire una matrice nxn come una linear map da R^n->R^n, e quindi potere sfruttare la norma definita nell' algebra lineare per definire l 'apertura, però non sono nè sicuro di essere sulla strada giusta, nè come procedere in modi alternativi. Grazie per la risposta,
iugi85

Il determinante è la chiave.
Il determinante è un polinomio nelle entrate della matrice, e come tale è una funzione continua dalle matrici (identifichiamole pure con R^(n*n) nel modo ovvio) in R.
0 è palesemente un chiuso di R (se poni questa domanda do per scontati i risultati basilari di toplogia) e quindi le matrici a determinante 0 sono un chiuso di R^(n*n) in quanto controimmagine di un chiuso tramite una funzione continua.
Quindi le matrici invertibili, complementare di quelle a determinante 0, sono un aperto.

Credo anche ci siano formule esplicite con le norme per il raggio della pallettina di matrici invertibili attorno ad una matrice invertibile data.

Grazie Francesco, sei stato chiarissimo!

Benvenuto!! Fa sempre piacere sapere se qualcuno passa da queste parti. Soprattutto se... passa da lontano!

Alla prossima. M.

FrancescoVeneziano ha scritto:Il determinante è la chiave.

Una frase come questa dà una sensazione di potenza...