OliForum Matematico

Vi giro un problemino che, per vari motivi, ho dovuto affrontare oggi
Problema: Sia $ \displaystyle p \in \mathfrak{P} $ t.c. $ \displaystyle p \neq 2 $. Sia $ \displaystyle x \in \mathbb{Z} $ una radice primitiva (modulo $ \displaystyle p^m $), con $ \displaystyle m \geq 2 $. Allora $ \displaystyle x $ è una radice primitiva (modulo $ \displaystyle p^{m+1} $)?

Mi assento per qualche giorno, e cosa ti ritrovo? Il subforum di TdN in uno stato di degrado e di abbandono...

Lm #1: se $ p\in \mathfrak{P} $; $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p $ ed $ s = v_p(g^{p-1} - 1) $: $ \mbox{ord}_{p^n}(g) = $ $ \left\{\begin{array}{l}p-1\quad \mbox{ se } n \leq s;\\ n-s\quad\mbox{ se } n > s\end{array}\right. $.

Dim.: teorema binomiale di Newton e valutazioni $ p $-adiche a go go.

Lm #2: se $ p\in \mathfrak{P} $ e $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p^n $, per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $, allora $ g $ è pure un generatore $ \bmod\; p $.

Dim.: per assurdo! Ricalca bene o male la precedente.

Lm #3: se $ p\in \mathfrak{P} $; $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p^n $, per qualche intero $ n \geq 2 $, allora $ v_p(g^{p-1} - 1) = 1 $.

Dim.: segue dal lemma #1.

La risposta al quesito di moebius è chiaramente affermativa (Dio benedica ogni lemma).

Qui come altrove, $ v_p(\cdot) $ denota la valutazione $ p $-adica dell'intero passato per argomento.

Ok
Se qualcuno dimostra i lemmi non si offende nessuno