OliForum Matematico

Dato un punto P costruire con la sola riga le tangenti ad un cerchio dato.
ps. non si conosce il centro del cerchio.

Non è che per favore potreste darmi almeno un aiutino o qualche idea?....grazie...

Che carino, non credevo che si potesse fare!!

Allora, fai così:
- Traccia 2 rette distinte per P e secanti la circonferenza in A, B e C, D rispettivamente.
- Traccia AD e BC, che si intersecano in E.
- Traccia AC e BD, che si intersecano in F (se sono parallele, sposta la retta PCD e rifai).
- Traccia EF, che interseca la circonferenza in T e T'.
- Le rette PT e PT' sono le due tangenti per P alla circonferenza.

Non ti resta che dimostrarlo.

Beh, a questo punto, qualcuno lo dimostri per una generica conica ... non so, quei 9 che allo stage di Pisa hanno sentito parlare di rette che si incontrano all'infinito e simili ci si potrebbero lanciare...

Grazie mille!

In Matematica c'è la tendenza a minimizzare, ad economizzare; così se un assioma è ridondante lo si elimina.

Ma qui c'è un'eccezione storica: le costruzioni con riga e compasso si possono fare col solo compasso, a parte il tracciamento delle rete. ma se ho due rette date come coppie di punti o voglio intersecarle, il compasso mi basta per trovare il punto di intersezione.
Algebricamente equivale a risolvere equazioni di primo grado ricorrendo a quelle di secondo grado (un po' assurdo, ma fattibile).
Ovviamente il contrario (far tutto con la sola riga) non funziona, perché equivarrebbe a risolvere equazioni di secondo grado tramite quelle di primo grado. Ma con la piccola ipotesi aggiuntiva di avere già una circonferenza tracciata (come nel nostro caso) allora tutto è possibile, eccetto tracciare le circonferenze; ma, come prima, se due circonferenze sono date come terne di punti non allineati, è possibile trovare le due (eventuali) intersezioni solo con la riga e la generica circonferenza già disegnata.
Algebricament equivale a risolvere equazioni di secondo grado trasformandole tramite equazioni lineari in una di 2° grado data.

nonostante tutto questo si continua a dire "costruzioni con riga e compasso".

Ma non serviva avere anche il centro della circonferenza data?

fph ha scritto:Ma non serviva avere anche il centro della circonferenza data?

La costruzione proposta da MindFlyer non lo usa; per quel che può valere l'ho sperimentata con Cabri ed effettivamente funziona, in attesa di dimostrarla.

no, no, per questo non serve il centro, sono d'accordo, ma dicevo in generale, in risposta a:

desko ha scritto: Ovviamente il contrario (far tutto con la sola riga) non funziona, perché equivarrebbe a risolvere equazioni di secondo grado tramite quelle di primo grado. Ma con la piccola ipotesi aggiuntiva di avere già una circonferenza tracciata (come nel nostro caso) allora tutto è possibile, eccetto tracciare le circonferenze;