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(i) Dimostrare che si può fare un triangolo con le mediane di un qualsiasi triangolo (ovvero che le mediane di un triangolo, opportunamente traslate, formano anch'esse un triangolo, se più vi aggrada)

(ii) Dimostrare che tale triangolo ha area pari ai $ 3/4 $ dell'area del triangolo iniziale

Dunque, vediamo se riesco a spiegarmi:

Siano le lettere come in figura e AE,BN,CM le tre mediane.
Si tracciano le parallele alla base AB passanti per C, e per N (quest'ultima passa anche per E);
ora si traccia la parralela a CM passante per A che individua sulla retta r il punto D (DA=CM) e il segmanto DE.
Se dimostriamo che il semento DE non è altro che la traslazione della mediana BN per un vettore BE allora il triangolo ADE è il triangolo costruito con le mediane. (dimostrando così (i))
Ip:
CN=NA, CE=BE, AM=MB
Considero i triangoli TDE e PRE
l'angolo TED è in comune,
l'angolo TDE=PRE perchè angoli corrispondenti
e l'angolo DTE=RPE per lo stesso motivo.
Perciò i due triangoli sono simili.

Lo stesso ragionamento si fa per i triangoli ATE e OPE anch'essi simili
l'angolo TEA è in comune,
l'angolo TAE=POE perchè angoli corrispondenti
e l'angolo ATE=OPE per lo stesso motivo.
Per Talete DT=TA (CN=NA per ipotesi) e CP=PM, inoltre anche RP=PO (per quanto detto sopra).Se ne ricava:
$ $CR+RP=PO+OM CR=OM$ $
Il punto d'incontro delle mediane O in questo caso divide la mediana in modo tale che OM=2CO.
Perciò RO=CR=OM e per l'inverso di Talete DE è parallelo a NB c.v.d

Spero di non aver commesso qualche errore

Ieri sera mi son dimenticato un pezzo, adesso vedo di concludere:
Abbiamo dimostrato che NB è parallelo a DE ora bisogna dimostrare che sono uguali.
I triangoli CNP e AMC sono simili ed il primo è la metà dell'altro perciò $ $NP=\frac{1}{2}AM$ $; la stessa cosa accade per i triangoli CPE e CMB quindi $ $PE=\frac{1}{2}MB$ $; dove MB=AM, ne segue che NE=AM=DC
Tracciato il segmento DN esso sarà parallelo al lato CB (siccome NE=DC e sono anche paralleli).
Il quadrilatero NBED è perciò un parallelogramma di conseguenza ha i lati a 2 a 2 uguali: NB=DE c.v.d

Questo era un problema di qualche giornalino fa...il modo più rapido per fare la prima parte è con i vettori : fissata un'origine O, considero i vettori OA, OB, OC che la congiungono ai vertici del triangolo e li chiamo a,b,c.
I punti medi saranno
$ \displaystyle{\frac{a+b}{2}\quad \frac{b+c}{2}\quad\frac{c+a}{2}} $
e dunque le mediane saranno parallele e della stessa lunghezza dei vettori
$ \displystyle{\frac{2c-a-b}{2}\quad\frac{2a-b-c}{2}\quad\frac{2b-a-c}{2}} $
si nota che la somma di questi tre vettori è nulla e quindi, opportunamente traslate le mediane comporranno un triangolo.
A questo punto si può portare il tutto con un'affinità in un triangolo equilatero, in cui la mediana è $ \sqrt{3}/2 $ il lato, quindi l'area del triangolo delle mediane è 3/4 dell'area del triangolo.

Esattamente le mie due idee, Eva...

Riguardo alla dimostrazione di IronMan, la controllerò a breve, in questo periodo ho tante cose da fare e poco tempo