OliForum Matematico

Siccome se ne stava giust'appunto discutendo con metafisic in altro loco...

Problema: sia $ \{p_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi di $ \mathbb{N} $. Posto allora $ x_n = 0.(p_1\:\! p_2 ... p_n) $, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, dove le parentesi indicano qui l'operazione di concatenazione delle cifre decimali di $ p_1, p_2, \ldots, p_n $, stabilire se la sequenza $ \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ converge a un numero razionale oppure irrazionale, per $ n\to +\infty $.

uhm... supponiamo ci sia un periodo di $ k $ cifre; allora significa che ci sono al più $ k $ residui distinti mod $ 10^k $.
ma questo è assurdo: per il postulato di bertrand/teorema di chebycheff, per ogni $ i>0 $ esiste $ 2^i < p < 2^{i+1} $ primo, quindi esistono più di $ k $ primi tra $ 0 $ e $ 10^k $; quindi, per il teorema di dirichlet, ci sono più di $ k $ residui...

ho usato armi troppo pesanti, o era stato messo appositamente in matematica non elementare? ^^

uhm.. altre due soluzioni, una senza bertrand, l'altra senza dirichlet:

con le stesse supposizioni di prima (periodico, periodo di k cifre)

SB: 11...1 (con k 1) è primo con $ 10^k $, quindi ci sono infiniti primi con k uni consecutivi, e qui si cava facilmente l'assurdo.

SD: per ogni n, ci sono primi con n cifre..
quindi, per m sufficientemente grande, c'è un intero di mk cifre che sta tutto "nel periodo", assurdo.

Ok, ma_go, ottime idee, quantunque la prima delle tue soluzioni - come già ti ho confessato altrove! - mi sia a dir poco oscura... In ogni caso, ecco la mia!

Per assurdo, il limite $ x $ della successione indicata sia periodico, e sia in particolare $ k $ la lunghezza del suo periodo. Detta allora $ a_1, a_2, \ldots, a_n, ... $ la sequenza delle cifre $ b $-esimali di $ x $, per una qualche intero $ b > 1 $, esiste $ v \in \mathbb{N}_0 $ tale che, per ogni $ n > v $ ed ogni $ m \in N $: $ a_n = a_{n+mk} $. Senonché (in base al teorema di Dirichlet) è certo garantita l'esistenza di infiniti primi naturali della forma $ b^{2k+3}\cdot t + 1 $. Ciascuno di questi possiede un numero di cifre zeri $ > 2k $, tali cioè da coprire un intero periodo. Pertanto le cifre del periodo dovrebbero essere tutte nulle, il che è palesemente assurdo!