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Problema: senza usare il teorema di Dirichlet, provare che esistono infiniti primi naturali della forma $ 3n+2 $.

Corretto il tex
EG
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innanzitutto vediamo che ne esistono, e questo è facile (2,5,11,ecc.).

ora dimostrerò che dato un insieme finito $ p_1,p_2,p_3....p_n $ di numeri del tipo $ 3k+2 $ è sempre possibile aggiungerne un altro $ \Rightarrow $ non sono un numero finito

Prendiamo allora il numero
$ \prod p_i +3 $
che è relativamente primo con tutti i $ p_i $ e del tipo $ 3k+2 $.
possono presentarsi 2 casi:

1)$ \prod p_i +3 $ è un numero primo, ed abbiamo aggiunto un altro numero primo al nostro insieme.

2)$ \prod p_i +3 $ è un numero composto.essendo $ \equiv 2 (\mod3) $ ha almeno un fattore $ \equiv 2 (\mod3) $ ed essendo relativamente primo con tutti i primi presi in precedenza, ne abbiamo trovato un altro.

Ciao ciao

frengo ha scritto: 2) $ \prod p_i +3 $ è un numero composto, essendo $ \equiv 2 (mod3) $ [...]

E perché mai quel numeretto lì dovrebbe essere $ \equiv 2 \bmod 3 $ ? Guarda che $ 2^t \equiv 1 \bmod 3 $, se $ t $ è un intero pari.

Hit, scusa?
$ 2^t\equiv 1\ \mod\ 3 $ se $ t\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $... eh?
Anche detto in italiano, non è che abbia molto senso ... come tutte le potenze modulo m, anche quelle di due avranno un ciclo ... quindi, più plausibilmente,
$ 2^t\equiv 1\mod 3 $ se t è pari e $ 2^t\equiv -1\mod 3 $ se t è dispari.

Direi quindi che l'unico problema in quel che ha detto frengo è nel caso in cui ci sia un numero pari di fattori...ovvero, ha dimostrato che se ne ho 2k+1 di quel tipo, ne posso ottenere 2k+2; manca l'altro passaggio, da pari a dispari.

Ahemmm... Volevo dire $ 2^t \equiv 1 \bmod 3 $, se $ t $ è intero e $ t \equiv 0 \bmod 2 $ (coi negativi si considerino gli inversi). Non chiedetemi perché l'ho scritto a quel modo... NON LO SO!!!

scusate,ma non sarebbe più semplice considerare il numero $ 3 \prod p_i -1 $?

EvaristeG ha scritto:Direi quindi che l'unico problema in quel che ha detto frengo è nel caso in cui ci sia un numero pari di fattori...ovvero, ha dimostrato che se ne ho 2k+1 di quel tipo, ne posso ottenere 2k+2; manca l'altro passaggio, da pari a dispari.

Eh, sì...

thematrix ha scritto:scusate,ma non sarebbe più semplice considerare il numero $ 3 \prod p_i -1 $?

...senonché così è meglio, no?

Provaci e poi, nel caso favorevole, posta una soluzione, oppure passa sottosilenzio il fallimento in caso avverso!